Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình bậc hai không phụ thuộc tham số.

Bài 1:

a)     Cho phương trình: x² – mx + 2m – 3 = 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào tham số m.

b)    Cho phương trình bậc hai: (m – 2)x² – 2(m + 2)x + 2(m – 1) = 0. Khi phương trình có nghiệm, hãy tìm một hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số m.

c)     Cho phương trình: 8x² – 4(m – 2)x + m(m – 4) = 0. Định m để phương trình có hai nghiệm x₁ ; x₂. Tìm hệ thức giữa hai nghiệm độc lập với m, suy ra vị trí của các nghiệm đối với hai số – 1 và 1.

Bài 2: Cho phương trình bậc hai: (m – 1)²x² – (m – 1)(m + 2)x + m = 0. Khi phương trình có nghiệm, hãy tìm một hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số m.

Bài 3: Cho phương trình: x² – 2mx – m² – 1 = 0.

a)     Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm x₁ , x₂ với mọi m.

b)    Tìm biểu thức liên hệ giữa x₁ ; x₂ không phụ thuộc vào m.

c)     Tìm m để phương trình có hai nghiệm x₁ ; x₂ thoả mãn: .

Bài 4: Cho phương trình: (m – 1)x² – 2(m + 1)x + m  = 0.

a)     Giải và biện luận phương trình theo m.

b)    Khi phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁ ; x₂:

-         Tìm một hệ thức giữa x₁ ; x₂ độc lập với m.

-         Tìm m sao cho |x₁ – x₂| ≥ 2.

Bài 5: Cho phương trình (m – 4)x² – 2(m – 2)x + m – 1 = 0. Chứng minh rằng nếu phương trình có hai nghiệm x₁ ; x₂ thì: 4x₁x₂ – 3(x₁ + x₂) + 2 = 0.