Dạng 5: Xác định tham số để các nghiệm của phương trình ax² + bx + c = 0 thoả mãn điều kiện cho trước.

Bài 1: Cho phương trình: x² – 2(m + 1)x + 4m = 0

1)    Xác định m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó.

2)    Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng 4. Tính nghiệm còn lại.

3)    Với điều kiện nào của m thì phương trình có hai nghiệm cùng dấu (trái dấu)

4)    Với điều kiện nào của m thì phương trình có hai nghiệm cùng dương (cùng âm).

5)    Định m để phương trình có hai nghiệm sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.

6)    Định m để phương trình có hai nghiệm x₁ ; x₂ thoả mãn 2x₁ – x₂ = - 2.

7)    Định m để phương trình có hai nghiệm x₁ ; x₂ sao cho A = 2x₁² + 2x₂² – x₁x₂ nhận giá trị nhỏ nhất.

Bài 2: Định m để phương trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã chỉ ra:

a) (m + 1)x² – 2(m + 1)x + m – 3 = 0  ;           (4x₁ + 1)(4x₂ + 1) = 18

b) mx² – (m – 4)x + 2m = 0  ;                         2(x₁² + x₂²) = 5x₁x₂

c) (m – 1)x² – 2mx + m + 1 = 0  ;                   4(x₁² + x₂²) = 5x₁²x₂²

d) x² – (2m + 1)x + m² + 2 = 0  ;                     3x₁x₂ – 5(x₁ + x₂) + 7 = 0.

Bài 3: Định m để phương trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã chỉ ra:

a) x² + 2mx – 3m – 2 = 0  ;                                      2x₁ – 3x₂ = 1

b) x² – 4mx + 4m² – m = 0  ;                          x₁ = 3x₂

c) mx² + 2mx + m – 4 = 0  ;                           2x₁ + x₂ + 1 = 0

d) x² – (3m – 1)x + 2m² – m = 0 ;                            x₁ = x₂²

e) x² + (2m – 8)x + 8m³ = 0  ;                         x₁ = x₂²

f) x² – 4x + m² + 3m = 0  ;                                       x₁² + x₂ = 6.

Bài 4:

a)     Cho phươnmg trình: (m + 2)x² – (2m – 1)x – 3 + m = 0. Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁ ; x₂ sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.

b)    Chư phương trình bậc hai: x² – mx + m – 1 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x₁ ; x₂ sao cho biểu thức  đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.

c)     Định m để hiệu hai nghiệm của phương trình sau đây bằng 2.

mx² – (m + 3)x + 2m + 1 = 0.

Bài 5: Cho phương trình: ax² + bx + c = 0  (a ≠ 0).

Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phương trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp đôi nghiệm kia là 9ac = 2b².

Bài 6: Cho phương trình bậc hai: ax² + bx + c = 0  (a ≠ 0). Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phương trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp k lần nghiệm kia (k > 0) là :

kb² = (k + 1)².ac