CHỦ ĐỀ 1: NHẬN BIẾT HÌNH, TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA MỘT HÌNH.

Bài 1:

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O. D và E lần lượt là điểm chính giữa của các cung AB và AC. DE cắt AB ở I và cắt AC ở L.

a) Chứng minh DI = IL = LE.

b) Chứng minh tứ giác BCED là hình chữ nhật.

c) Chứng minh tứ giác ADOE là hình thoi và tính các góc của hình này.

Bài 2:

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn có các đường chéo vuông góc với nhau tại I.

a) Chứng minh rằng nếu từ I ta hạ đường vuông góc xuống một cạnh của tứ giác thì đường vuông góc này qua trung điểm của cạnh đối diện của cạnh đó.

b) Gọi M, N, R, S là trung điểm của các cạnh của tứ giác đã cho. Chứng minh MNRS là hình chữ nhật.

c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật này đi qua chân các đường vuông góc hạ từ I xuống các cạnh của tứ giác.

Bài 3:

Cho tam giác vuông ABC ( ÐA = 1v) có AH là đường cao. Hai đường tròn đường kính AB và AC có tâm là O₁ và O₂. Một cát tuyến biến đổi đi qua A cắt đường tròn (O₁) và (O₂) lần lượt tại M và N.

a) Chứng minh tam giác MHN là tam giác vuông.

b) Tứ giác MBCN là hình gì?

c) Gọi F, E, G lần lượt là trung điểm của O₁O₂, MN, BC. Chứng minh F cách đều 4 điểm E, G, A, H.

d) Khi cát tuyến MAN quay xung quanh điểm A thì E vạch một đường như thế nào?

Bài 4:

Cho hình vuông ABCD. Lấy B làm tâm, bán kính AB, vẽ 1/4 đường tròn phía trong hình vuông.Lấy AB làm đường kính , vẽ 1/2 đường tròn phía trong hình vuông. Gọi P là điểm tuỳ ý trên cung AC ( không trùng với A và C). H và K lần lượt là hình chiếu của P trên AB và AD, PA và PB cắt nửa đường tròn lần lượt ở I và M.

a) Chứng minh I là trung điểm của AP.

b) Chứng minh PH, BI, AM đồng qui.

c) Chứng minh PM = PK = AH

d) Chứng minh tứ giác APMH là hình thang cân.

đ) Tìm vị trí điểm P trên cung AC để tam giác APB là đều.