Giải:

Ta lưu ý điều kiện x≥1

Ta xét phương trình 1:

Nếu x>y≥-1

=>x-y+>0> y²⁰¹³-x²⁰¹³

Nếu x≥1, y<-1

=>x-y+

=x-1+1-y+

=1-y++ x-1

=1+++ x-1

>0 (do y<-1 và x≥1)

0> y²⁰¹³-x²⁰¹³

Vậy phương trình vô nghiệm.

Nếu x<y

=>x-y+<0< y²⁰¹³-x²⁰¹³

Vậy phương trình vô nghiệm

Với x=y thì:

=>x-y+=0=y²⁰¹³-x²⁰¹³

Phương trình có nghiệm. Thay x=y vào phương trình 2 ta được:

+y³=3x²-4x+5

=> =3x²-4x+5

=> =-x³+3x²-4x+5

Ta thấy x=2 là nghiệm của phương trình, ở đây ta sẽ chứng minh nó là nghiệm duy nhất:

Xét hàm f(x)= đây là hàm luôn tăng với x≥1 (1)

g(x)= -x³+3x²-4x+5

=>g'(x)=-3x²+6x-4=-3(x-1)²-1≤-1<0 đây là hàm luôn giảm x≥1 (2)

Từ (1) và (2) suy ra f(x)=g(x) chỉ có một nghiệm duy nhất.

Vậy x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình.

Kết luận nghiệm của hệ là: (x,y)=(2,2)