CHỦ ĐỀ 4: CHỨNG MINH ĐIỂM CỐ ĐỊNH.

Bài 1:

Cho đường tròn (O ; R). Đường thẳng d cắt (O) tại A, B. C thuộc d ở ngoài (O). Từ điểm chính giữa P của cung lớn AB kẻ đường kính PQ cắt AB tại D. CP cắt (O) tại điểm thứ hai I, AB cắt IQ tại K.

a) Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếp.

b) Chứng minh: CI.CP = CK.CD.

c) Chứng minh IC là phân giác ngoài của tam giác AIB.

d) A, B, C cố định, (O) thay đổi nhưng vẫn luôn qua A, B. Chứng minh rằng IQ luôn đi qua điểm cố định.

Bài 2:

Cho tam giác đều ABC nội tiếp (O ; R). M di động trên AB. N di động trên tia đối của tia CA sao cho BM = CN.

a)  Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt (O) tại A và D. Chứng minh rằng D cố định.

b) Tính góc MDN.

c)  MN cắt BC tại K. Chứng minh DK vuông góc với MN.

d) Đặt AM = x. Tính x để diện tích tam giác AMN là lớn nhất.

Bài 3:

Cho (O ; R). Điểm M cố định ở ngoài (O). Cát tuyến qua M cắt (O) tại A và B. Tiếp tuyến của (O) tại A và B cắt nhau tại C.

a)  Chứng minh tứ giác OACB nội tiếp đường tròn tâm K.

b) Chứng minh: (K) qua hai điểm cố định là O và H khi cát tuyến quay quanh M.

c)  CH cắt AB tại N, I là trung điểm AB. Chứng minh MA.MB = MI.MN.

d) Chứng minh: IM.IN = IA².

Bài 4:

Cho nửa đường tròn đường kính AB tâm O. C là điểm chính giữa cung AB. M di động trên cung nhỏ AC. Lấy N thuộc BM sao cho AM = BN.

a)  So sánh tam giác AMC và BCN.

b) Tam giác CMN là tam giác gì?

c)  Kẻ dây AE//MC. Chứng minh tứ giác BECN là hình bình hành.

d) Đường thẳng d đi qua N và vuông góc với BM. Chứng minh d luôn đi qua điểm cố định.

Bài 5:

Cho đường tròn (O ; R), đường thẳng d cắt (O) tại hai điểm C và D. Điểm M tuỳ ý trên d, kẻ tiếp tuyến MA, MB. I là trung điểm của CD.

a)  Chứng minh 5 điểm M, A, I, O, B cùng thuộc một đường tròn.

b) Gọi H là trực tâm của tam giác MAB, tứ giác OAHB là hình gì?

c)  Khi M di đồng trên d. Chứng minh rằng AB luôn qua điểm cố định.

Đường thẳng qua C vuông góc với OA cắt AB, AD lần lượt tại E và K. Chứng minh EC = EK