Dạng 8: Mối quan hệ giữa các nghiệm của hai phương trình bậc hai.

Kiến thức cần nhớ:

1/ Định giá trị của tham số để phương trình này có một nghiệm bằng k (k ≠ 0) lần một nghiệm của phương trình kia:

Xét hai phương trình:

ax² + bx + c = 0   (1)

a'x² + b'x + c' = 0  (2)

trong đó các hệ số a, b, c, a', b', c' phụ thuộc vào tham số m.

Định m để sao cho phương trình (2) có một nghiệm bằng k (k ≠ 0) lần một nghiệm của phương trình (1), ta có thể làm như sau:

i)                   Giả sử x₀ là nghiệm của phương trình (1) thì kx₀ là một nghiệm của phương trình (2), suy ra hệ phương trình:

Giải hệ phương trình trên bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số để tìm m.

ii)                Thay các giá trị m vừa tìm được vào hai phương trình (1) và (2) để kiểm tra lại.

2/ Định giá trị của tham số m để hai phương trình bậc hai tương đương với nhau.

Xét hai phương trình:

ax² + bx + c = 0     (a ≠ 0)   (3)

a'x² + b'x + c' = 0  (a' ≠ 0) (4)

Hai phương trình (3) và (4) tương đương với nhau khi và chỉ khi hai phương trình có cùng 1 tập nghiệm (kể cả tập nghiệm là rỗng).

Do đó, muỗn xác định giá trị của tham số để hai phương trình bậc hai tương đương với nhau ta xét hai trường hợp sau:

i)                   Trường hợp cả hai phương trinhg cuùng vô nghiệm, tức là:

Giải hệ trên ta tịm được giá trị của tham số.

ii)                Trường hợp cả hai phương trình đều có nghiệm, ta giải hệ sau:

Chú ý: Bằng cách đặt y = x² hệ phương trình (*) có thể đưa về hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn như sau:

Để giải quyết tiếp bài toán, ta làm như sau:

-         Tìm điều kiện để hệ có nghiệm rồi tính nghiệm (x ; y) theo m.

-         Tìm m thoả mãn y = x².

-         Kiểm tra lại kết quả.

-          

Bài 1: Tìm m để hai phương trình sau có nghiệm chung:

2x² – (3m + 2)x + 12 = 0

4x² – (9m – 2)x + 36 = 0

Bài 2: Với giá trị nào của m thì hai phương trình sau có nghiệm chung. Tìm nghiệm chung đó:

a) 2x² + (3m + 1)x – 9 = 0;                   6x² + (7m – 1)x – 19 = 0.

b) 2x² + mx – 1 = 0;                             mx² – x + 2 = 0.

c) x² – mx + 2m + 1 = 0;             mx² – (2m + 1)x – 1 = 0.

Bài 3: Xét các phương trình sau:

ax² + bx + c = 0     (1)

cx² + bx + a = 0     (2)

Tìm hệ thức giữa a, b, c là điều kiện cần và đủ để hai phương trình trên có một nghiệm chung duy nhất.

Bài 4: Cho hai phương trình:

x² – 2mx + 4m = 0    (1)

x² – mx + 10m = 0    (2)

Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (2) có một nghiệm bằng hai lần một nghiệm của phương trình (1).

Bài 5: Cho hai phương trình:

x² + x + a = 0

x² + ax + 1 = 0

a)     Tìm các giá trị của a để cho hai phương trình trên có ít nhất một nghiệm chung.

b)    Với những giá trị nào của a thì hai phương trình trên tương đương.

Bài 6: Cho hai phương trình:

x² + mx + 2 = 0   (1)

x² + 2x + m  = 0   (2)

a)     Định m để hai phương trình có ít nhất một nghiệm chung.

b)    Định m để hai phương trình tương đương.

c)     Xác định m để phương trình (x² + mx + 2)(x² + 2x + m)  = 0 có 4 nghiệm phân biệt

Bài 7: Cho các phương trình:

x² – 5x + k = 0   (1)

x² – 7x + 2k = 0   (2)

Xác định k để một trong các nghiệm của phương trình (2) lớn gấp 2 lần một trong các nghiệm của phương trình (1).