CHỦ ĐỀ 2: CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP, CHỨNG MINH NHIỀU ĐIỂM CÙNG NẰM TRÊN MỘT ĐƯỜNG TRÒN.

Bài 1:

Cho hai đường tròn (O), (O') cắt nhau tại A, B. Các tiếp tuyến tại A của (O), (O') cắt (O'), (O) lần lượt tại các điểm E, F. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác EAF.

a) Chứng minh tứ giác OAO'I là hình bình hành và OO'//BI.

b) Chứng minh bốn điểm O, B, I, O' cùng thuộc một đường tròn.

c) Kéo dài AB về phía B một đoạn CB = AB. Chứng minh tứ giác AECF nội tiếp.

Bài 2:

Cho tam giác ABC. Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H.Gọi D là điểm đối xứng của H qua trung điểm M của BC.

a) Chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp được trong một đường tròn.Xác định tâm O của đường tròn đó.

b) Đường thẳng DH cắt đường tròn (O) tại điểm thứ 2 là I. Chứng minh rằng 5 điểm A, I, F, H, E cùng nằm trên một đường tròn.

Bài 3:

Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Tia OA cắt đường tròn (O') tại C, tia O'A cắt đường tròn (O) tại D. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác OO'CD nội tiếp.

b) Tứ giác OBO'C nội tiếp, từ đó suy ra năm điểm O, O', B, C, D cùng nằm trên một đường tròn.

Bài 4:

Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường tròn đường kính AD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E. Vẽ EF vuông góc AD. Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh rằng:

a) Các tứ giác ABEF, DCEF nội tiếp được.

b) Tia CA là tia phân giác của góc BCF.

c)* Tứ giác BCMF nội tiếp được.

Bài 5:

Từ một điểm M ở bên ngoài đường tròn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn. Trên cung nhỏ AB lấy một điểm C. Vẽ CD  ^ AB, CE ^ MA, CF ^ MB.

Gọi I là giao điểm của AC và DE, K là giao điểm của BC và DF. Chứng minh rằng:

a) Các tứ giác AECD, BFCD nội tiếp được.

b) CD² = CE. CF

c)* IK // AB

Bài 6:

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Từ A vẽ tiếp tuyến xy với đường tròn. Vẽ hai đường cao BD và CE.

a) Chứng minh rằng bốn điểm B, C, D, E cùng nằm trên một đường tròn.

b) Chứng minh rằng xy// DE, từ đó suy ra OA ^ DE.

Bài 7:

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O). Trên cung nhỏ AB lấy một điểm M. Đường thẳng qua A song song với BM cắt CM tại N.

a) Chứng minh rằng tam giác AMN là tam giác đều.

b) Chứng minh rằng MA + MB = MC.

c)* Gọi D là giao điểm của AB và CM. Chứng minh rằng:

Bài 8:

Cho ba điểm A, B, C cố định với B nằm giữa A và C. Một đường tròn (O) thay đổi đi qua B và C. Vẽ đường kính MN vuông góc với BC tại D ( M nằm trên cung nhỏ BC).Tia AN cắt đường tròn (O) Tại một điểm thứ hai là F. Hai dây BC và MF cắt nhau tại E. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác DEFN nội tiếp được.

b) AD. AE = AF. AN

c) Đường thẳng MF đi qua một điểm cố định.

Bài 9:

Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn ( O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn. Gọi M là trung điểm của AB. Tia CM cắt đường tròn tại điểm N. Tia AN cắt đường tròn tại điểm D.

a) Chứng minh rằng MB² = MC. MN

b) Chứng minh rằng AB// CD

c) Tìm điều kiện của điểm A để cho tứ giác ABDC là hình thoi. Tính diện tích cử hình thoi đó.

Bài 10:

Cho đường tròn (O) và một dây AB. Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB. Vẽ đường kính MN Cắt AB tại I. Gọi D là một điểm thuộc dây AB. Tia MD cắt đường tròn (O) tại C.

a) Chứng minh rằng tứ giác CDIN nội tiếp được

b) Chứng minh rằng tích MC. MD có giá trị không đổi khi D di động trên dây AB.

c) Gọi O' là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD.

    Chứng minh rằng ÐMAB = Ð AO'D.

d) Chứng minh rằng ba điểm A, O', N thẳng hàng và MA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD.

Bài 11:

Cho tam giác ABC vuông ở A ( AB < AC), đường cao AH. Trên đoạn thẳng HC lấy D sao cho HD = HB. Vẽ CE vuông góc với AD ( E Î AD).

a) Chứng minh rằng AHEC là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHEC.

c) Chứng minh rằng CH là tia phân giác của góc ACE.

d) Tính diện tích hình giới hạn bởi các đoạn thẳng CA. CH và cung nhỏ AH của đường tròn nói trên biết AC= 6cm, ÐACB = 30⁰.

Bài 12:

Cho đường tròn tâm O có đường kính BC. Gọi A là Một điểm thuộc cung BC ( AB < AC), D là điểm thuộc bán kính OC. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC ở E, cắt tia BA ở F.

a) Chứng minh rằng ADCF là tứ giác nội tiếp.

b) Gọi M là trung điểm của EF. Chứng minh rằng ÐAME = 2 ÐACB.

c) Chứng minh rằng AM là tiếp tuyến của đường tròn (O).

d) Tính diện tích hình giới hạn bởi các đoạn thẳng BC, BA và cung nhỏ AC của đường tròn (O) biết BC= 8cm, ÐABC = 60⁰.

Bài 13:

Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính  AB = 2R. Điểm M thuộc nửa đường tròn. Vẽ đường tròn tâm M tiếp xúc với AB ( H là tiếp điểm). Kẻ các tiếp tuyến AC, BD với đường tròn (M) ( C, D là tiếp điểm).

a) Chứng minh rằng C, M, D thẳng hàng

b) Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đường tròn (O).

c) Tính tổng AC + BD theo R.

d) Tính diện tích tứ giác ABDC biết ÐAOM = 60⁰.

Bài 14:

Cho tam giác vuông cân ABC (ÐA = 90⁰), trung điểm I của cạnh BC. Xét một điểm D trên tia AC. Vẽ đường tròn (O) tiếp xúc với các cạnh AB, BD, DA tại các điểm tương ứng M, N, P.

a) Chứng minh rằng 5 điểm B, M, O, I, N nằm trên một đường tròn.

b) Chứng minh rằng ba điểm N, I, P thẳng hàng.

c) Gọi giao điểm của tia BO với MN, NP lần lượt là H, K. Tam giác HNK là tam giác gì, tại sao?

d) Tìm tập hợp điểm K khi điểm D thay đổi vị trí trên tia AC.