Toán - Tô Mai

4:39:00 PM Được đăng bởi Trang Anh Nam

59. Cho a, b, c, d thoả mãn a + b = c + d, a2 + b2 = c2 + d2.

Chứng minh rằng a2002 + b2002 = c2002 + d2002.
(Đề thi chọn học sinh giỏi giải thưởng Lê Quý Đôn, Trường THCS Lê Quý Đôn, Quận 3 – TP. Hồ Chí Minh, năm học 2001 – 2002).

60. Cho các số thực dương a và b thoả mãn : a100 + b100 = a101 + b101 = a102+ b102.

Hãy tính giá trị của biểu thức : P = a2004 + b2004.

(Đề thi vào lớp 10 chuyên Trường Đại học Quốc gia Hà Nội, năm học 2004 – 2005)
Giải:
59.
Ta có: a2 + b2 = c2 + d2
=>a2-c2=d2-b2
=>(a-c)(a+c)=(d-b)(d+b)   (1)
Lại có: a + b = c + d
=>a-c=d-b
Nếu a=c => b=d hiễn nhiên biểu thức:
a2002 + b2002 = c2002 + d2002 đúng.  (II)
Nếu ac =>bd
=>a-c=d-b0
Khi đó biểu thức (1) trở thành:
a+c=b+d (a-c, d-b khác không nên ta có thể đơn giản)
mà: a + b = c + d
cộng hai biểu thức theo vế ta được:
2a+b+c=b+c+2d
=>2a=2d
=>a=d
=>b=c
Vì a=d và b=c nên biểu thức a2002 + b2002 = c2002 + d2002 đúng. (I)
Kết luận: với điều kiện đềcho ta luôn có: a2002 + b2002 = c2002 + d2002.
60:
a100 + b100 = a101 + b101
=>a101-a100+b101-b100=0
=>a100(a-1)+b100(b-1)=0      (#)
Nếu a và b cùng lớn hơn 1 thì: a-1 và b-1 đều là số dương nên:
a100(a-1)+b100(b-1)>0
không đúng với (#).
Nếu a và b cùng nhỏ hơn 1 thì: a-1 và b-1 đều là số âm nên:
a100(a-1)+b100(b-1)<0
không đúng với (#).
Nếu a và b có một số lớn hơn hoặc bằng 1 và 1 số nhỏ hơn hoặc bằng 1. Không mất tính tổng quát ta xét: a1 và b1.
Ta có:
a100(a-1)+b100(b-1)=0
=>a100(a-1)=b100(1-b)   (*)
Lại có:
a101 + b101 = a102 + b102
=> a102 –a101+ b102-b101=0
=>a101(a-1)+b101(b-1)=0
=>a.a100(a-1)+b.b100(b-1)=0
=>a. a100(a-1)- b.b100(1-b)=0
=> a. a100(a-1)- b. a100(a-1)=0   (do (*) )
=> a100(a-1)(a-b)=0
=>

=>

Với a=1 thay vào (*) ta được:
0=b100(b-1)
=>b=1    (vì b>0.)
Với a=b thay vào 1 ta được:
a100(a-1)=a100(1-a)  
=>a-1=1-a
=>2a=2
=>a=1 =>b=1
Vậy a=b=1 trong mọi trường hợp.
Suy ra: P = a2004 + b2004=12004+12004=1+1=2




No comments:

Subscribe to: Post Comments (Atom)
 

© 2012 Học Để ThiBlog tài liệu