56. Tìm các số tự nhiên n để giá trị của biểu thức sau là số nguyên tố : 5n³ – 9n² + 15n – 27.

57. Chứng minh rằng với mọi n N thì n⁴ + 7n² + 3n² + 21 không thể là số nguyên tố.

Giải:

56)

Ta có:

5n³ – 9n² + 15n – 27

=5n³ + 15n– 9n²  – 27

=5n³ + 15n– (9n²  + 27)

=5n(n²+3)-9(n²+3)

=(n²+3)(5n-9)  (*)

Ta thấy (*) chia hết cho (n²+3) và (5n-9) và (n²+3)(5n-9)

Để (*) là số nguyên tố thì no1chi3 chia hết cho chính nó và 1

Vì n²+3>1 nên 5n-9=1 =>5n=10 =>n=2

Vậy n=2 thì: 5n³ – 9n² + 15n – 27=7 là số nguyên tố.

57. ta có:

n⁴ + 7n² + 3n² + 21

=n²(n²+7)3(n²+7)

=(n²+3)(n²+7)   (#)

Ta thấy (#) chia hết cho (n²+3), (n²+7) và (n²+3)(n²+7)

Mà: 1< n²+3 < n²+7

Vậy biểu thức đã cho không thể nào là số nguyên tố.