TUYỂN TẬP 80 BÀI TOÁN HÌNH HỌC LỚP 9 - bài 35



Bài 35   Cho đường tròn  (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = 2/3 AO. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I, gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại E.


1.                                Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp .

2.                                Chứng minh tam giác  AME đồng dạng với tam giác  ACM.

3.                               Chứng minh AM2 = AE.AC.

4.                                Chứng minh AE. AC - AI.IB = AI2 .

5.        Hãy xác định vị trí của C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn  ngoại tiếp tam giác  CME là nhỏ nhất.

Lời giải:  

1. Theo giả thiết MN ^AB tại I => ÐEIB = 900Ð ACB nội tiếp chắn nửa đường tròn  nên ÐACB = 900 hay ÐECB = 900

=> ÐEIB + ÐECB = 1800 mà đây là hai góc đối của tứ giác IECB nên tứ giác IECB là tứ giác  nội tiếp .


2. Theo giả thiết MN ^AB => A là trung điểm của cung MN => ÐAMN = ÐACM ( hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) hay ÐAME = ÐACM. Lại thấy ÐCAM là góc chung của hai tam giác  AME và AMC do đó tam giác  AME đồng dạng với tam giác  ACM.

3. Theo trên DAME ~ D ACM =>  => AM2 = AE.AC

4. ÐAMB = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn ); MN ^AB tại I => DAMB vuông tại M có MI là đường cao => MI2 = AI.BI ( hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác  vuông) .

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác  AIM vuông tại I ta có AI2 = AM2 – MI2 => AI2 = AE.AC - AI.BI .

5. Theo trên ÐAMN = ÐACM => AM là tiếp tuyến của đường tròn  ngoại tiếp D ECM; Nối MB ta có ÐAMB = 900 , do đó tâm O1 của đường tròn  ngoại tiếp D ECM phải nằm trên BM. Ta thấy NO1 nhỏ nhất khi NO1 là khoảng cách từ N đến BM => NO1 ^BM.

Gọi O1 là chân đường vuông góc kẻ từ N đến BM ta được O1 là tâm đường tròn  ngoại tiếp D ECM có bán kính là O1M. Do đó để khoảng cách từ N đến tâm đường tròn  ngoại tiếp tam giác  CME là nhỏ nhất thì C phải là giao điểm của đường tròn  tâm O1 bán kính O1M với đường tròn  (O) trong đó O1 là hình chiếu vuông góc của N trên BM.

 

 

Lưu ý kí hiệu: Ð có nghĩa là góc.




2 comments:

  1. Cho mink hỏi là tại sao góc MCA bằng góc AMN lại suy ra AM là tiếp tuyến được ah

    ReplyDelete
    Replies
    1. góc AMN là góc tạo bởi tia tt và dây cung ME mafgocs MCA chắn cung ME

      Delete

 

© 2012 Học Để ThiBlog tài liệu