Bài 33   Cho tam giác  ABC nội tiếp (O; R), tia phân giác của góc BAC cắt BC tại I, cắt đường tròn  tại M.

1. Chứng minh OM ^ BC.
2. Chứng minh MC² = MI.MA.
3. Kẻ đường kính MN, các tia phân giác của góc B và C cắt đường thẳng  AN tại P và Q. Chứng minh bốn điểm P, C , B, Q cùng thuộc một đường tròn  .

Lời giải:  

1. AM là phân giác của ÐBAC => ÐBAM = ÐCAM

=> => M là trung điểm của cung BC => OM ^ BC

2. Xét DMCI và DMAC  có ÐMCI =ÐMAC (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau); ÐM là góc chung

=> DMCI ~ DMAC =>  => MC² = MI.MA.

3. (HD) ÐMAN = 90⁰ (nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => ÐP₁ = 90⁰ – ÐK₁ mà ÐK₁ là góc ngoài của tam giác  AKB nên ÐK₁ = ÐA₁ + ÐB₁ = (t/c phân giác của một góc ) => ÐP₁ = 90⁰ – ().(1)

CQ là tia phân giác của góc ACB => ÐC₁ = = (180⁰ - ÐA - ÐB) = 90⁰ – (). (2).

Từ (1) và (2) => ÐP₁ = ÐC₁ hay ÐQPB = ÐQCB mà P và C nằm cùng về một nửa mặt phẳng bờ BQ nên cùng nằm trên cung chứa góc 90⁰ – () dựng trên BQ.

Vậy bốn điểm P, C, B, Q cùng thuộc một đường tròn  .

Lưu ý kí hiệu Ð có nghĩa là góc.