Bài 19.  Cho đường tròn  (O) đường kính AC. Trên bán kính OC lấy điểm B tuỳ ý (B khác O, C ). Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Qua M kẻ dây cung DE vuông góc với AB. Nối CD, Kẻ BI vuông góc với CD.

1. Chứng minh tứ giác BMDI nội tiếp .
2. Chứng minh tứ giác ADBE là hình thoi.
3. Chứng minh BI // AD.
4. Chứng minh I, B, E thẳng hàng.
5. Chứng minh MI là tiếp tuyến của (O').

Lời giải:  

      1. ÐBIC = 90⁰ ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => ÐBID = 90⁰ (vì là hai góc kề bù);  DE ^ AB tại M => ÐBMD = 90⁰

=> ÐBID + ÐBMD = 180⁰ mà đây là hai góc đối của tứ giác MBID nên MBID là tứ giác nội tiếp.

     2. Theo giả thiết M là trung điểm của AB; DE ^ AB tại M nên M còng là trung điểm của DE (quan hệ đường kính và dây cung)

=> Tứ giác ADBE là hình thoi vì có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường .

     3. ÐADC = 90⁰ ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => AD ^ DC; theo trên BI ^ DC => BI // AD. (1)

     4. Theo giả thiết ADBE là hình thoi => EB // AD (2).

Từ (1) và (2) => I, B, E thẳng hàng (vì qua B chỉ có một đường thẳng song song với AD mà thôi.)

     5. I, B, E thẳng hàng nên tam giác  IDE vuông tại I => IM là trung tuyến ( vì M là trung điểm của DE) =>MI = ME => DMIE cân tại M => ÐI₁ = ÐE₁ ; DO'IC cân tại O' ( vì O'C và O'I cùng là bán kính )        => ÐI₃ = ÐC₁ mà ÐC₁ = ÐE₁ ( Cùng phụ với góc EDC ) => ÐI₁ = ÐI₃ => ÐI₁ + ÐI₂ = ÐI₃ + ÐI₂ .     Mà ÐI₃ + ÐI₂ = ÐBIC = 90⁰ => ÐI₁ + ÐI₂ = 90⁰ = ÐMIO' hay MI  ^ O'I tại I => MI là tiếp tuyến của (O').

Lưu ý kí hiệu: Ð có nghĩa là góc.