Bài 42   Cho tam giác  ABC cân tại A. có cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên, nội tiếp đường tròn  (O). Tiếp tuyến tại B và C lần lượt cắt AC, AB ở D và E. Chứng minh :

1.   BD² = AD.CD.

2.   Tứ giác BCDE nội tiếp .

3.   BC song song với DE.

Lời giải:   

1. Xét hai tam giác  BCD và ABD ta có ÐCBD = ÐBAD ( Vì là góc nội tiếp và góc giữa tiếp tuyến với một dây cùng chắn một cung), lại có ÐD chung => DBCD ~ DABD =>  => BD² = AD.CD.

2. Theo giả thiết tam giác  ABC cân tại A => ÐABC = ÐACB

=> ÐEBC = ÐDCB mà ÐCBD = ÐBCD (góc giữa tiếp tuyến với một dây cùng chắn một cung) => ÐEBD = ÐDCE => B và C  nhìn DE dưới cùng

 một góc do đó B và C cùng nằm trên cung tròn dựng trên DE => Tứ giác BCDE nội tiếp

3. Tứ giác BCDE nội tiếp =>  ÐBCE =  ÐBDE ( nội tiếp cùng chắn cung BE) mà  ÐBCE =  ÐCBD (theo trên ) =>  ÐCBD =  ÐBDE mà đây là hai góc so le trong  nên suy ra  BC // DE.

Lưu ý kí hiệu Ð có nghĩa là góc.