Bài 14  Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB sao cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm. Vẽ về một phía của AB các nửa đường tròn  có đường kính theo thứ tự là AB, AC, CB và có tâm theo thứ tự là O, I, K.

Đường vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn  (O) tại E. Gọi M. N theo thứ tự là giao điểm của EA,

EB với các nửa đường tròn  (I), (K).

1.Chứng minh EC = MN.

2.Ch/minh MN là tiếp tuyến chung của các nửa đ/tròn  (I), (K).

3.Tính MN.

4.Tính diện tích hình được giới hạn bởi ba nửa đường tròn

Lời giải:  

    1. Ta có: ÐBNC= 90⁰( nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm K)

     => ÐENC = 90⁰ (vì là hai góc kề bù). (1)

      ÐAMC = 90⁰ ( nội tiếp chắn nửc đường tròn tâm I) => ÐEMC = 90⁰ (vì là hai góc kề bù).(2)

      ÐAEB = 90⁰ (nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O) hay ÐMEN = 90⁰ (3)

    Từ (1), (2), (3) => tứ giác CMEN là hình chữ nhật  => EC = MN (tính chất đường chéo hình chữ nhật  )

      2. Theo giả thiết EC ^AB tại C nên EC là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn  (I) và (K)      

     => ÐB₁ = ÐC₁ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CN). Tứ giác CMEN là hình chữ nhật nên => ÐC₁= ÐN₃

     => ÐB₁ = ÐN₃.(4) Lại có KB = KN (cùng là  bán kính) => tam giác  KBN cân tại K => ÐB₁ = ÐN₁ (5)

   Từ (4) và (5) => ÐN₁ = ÐN₃ mà ÐN₁ + ÐN₂ = ÐCNB = 90⁰ => ÐN₃ + ÐN₂ = ÐMNK = 90⁰ hay MN ^ KN   tại N => MN là tiếp tuyến của (K) tại N.

  Chứng minh tương tự ta còng có MN là tiếp tuyến của (I) tại M,

  Vậy MN là tiếp tuyến chung của các nửa đường tròn  (I), (K).

3. Ta có ÐAEB = 90⁰ (nội tiếp chắn nửc đường tròn tâm O) => DAEB vuông tại A có EC ^ AB (gt) 

=> EC² = AC. BC ó EC² = 10.40 = 400 => EC = 20 cm. Theo trên EC = MN => MN = 20 cm.

4.  Theo giả thiết AC = 10 Cm, CB = 40 Cm => AB = 50cm => OA = 25 cm

Ta có S_(o) = .OA² = 25² = 625; S_(I) = . IA² = .5² = 25; S_(k) = .KB² = . 20² = 400.

Ta có diện tích phần hình được giới hạn bởi ba nửa đường tròn là  S =  ( S_(o) - S_(I) - S_(k))

S = ( 625- 25- 400) = .200  = 100 314 (cm²)

Lưu ý kí hiệu: Ð có nghĩa là góc