Câu

Đáp án

Điểm

I

( 2,0 điểm)

Cho hàm số (1)

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) đã cho.

TXĐ:

0.25

Hàm số nghịch biến trên các khoảng: và

Giới hạn và tiệm cận:Þ tiệm cận đứng: x = 1

Þ tiệm cận ngang y = 2

0.25

Bảng biến thiên:

0.25

Đồ thị: Đi qua các điểm và nhận giao

điểm 2 tiệm cận I(1; 2) làm tâm đối xứng.

0.25

2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết rằng tiếp tuyến cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho .

Ta có

Hệ số góc của tiếp tuyến được tính bởi

0.25

Gọi là tiếp điểm của tiếp tuyến và (C)

Þ hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình: = k hay:

0.25

Với và tiếp điểm , ta có pt tiếp tuyến : .

0.25

Với và tiếp điểm , ta có pt tiếp tuyến:

0.25

II

(2,0 điểm)

1. Giải phương trình .

Điều kiện: (*). Khi đó:

Phương trình đã cho tương đương với:

0.25

0.25

Với , thỏa (*)

0.25

Với , thỏa (*)

Vậy, phương trình có nghiệm:

0.25

2. Giải bất phương trình .

Điều kiện:

0.25

Bất phương trình tương đương

0.25

0.25

Kết hợp điều kiện nghiệm của bất phương trình là

0.25

III

(1,0 điểm)

Tính tích phân .

Ta có I= =

0.25

Đặt

0.25

Suy ra I= .

0.25

Vậy I.

0.25

IV

(1,0 điểm)

Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có, hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC và góc giữa AA’ tạo với mặt phẳng (ABC) bằng 60⁰. Tính thể tích khối đa diện BCC’B’A’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng B’C’ và A’C.

Từ là hình chiếu của lên

Gọi M là trung điểm BC. Từ giả thiết ta có:

0.25

Đặt . Ta có

. Nên vuông tại A

Vì nên là chiều cao của khối lăng trụ và khối chóp

Thể tích của khối đa diện BCC’B’A’ được tính bởi:

(đvtt).

0.25

Kẻ AK ^ BC tại K và GI ^ BC tại I Þ GI // AK

Kẻ GH ^ A’I tại H (1)

Do . Từ (1) và (2) Þ GH ^ (A’BC)

0.25

Vì , nên và

=

Mặt khác ta thấy AB’ cắt mp(A’BC) tại N là trung điểm của AB’. Do đó:

.

Vậy

0.25

V

(1,0 điểm)

Cho các số thực . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P được viết lại dưới dạng tương đương là

0.25

Do nên , nên chia tử và mẫu của M cho ta được:

với

Với

0.25

Xét hàm số trên

Ta có < 0, nghịch biến trên

0.25

Do đó

Đẳng thức xảy ra khi

Vậy Min P khi

0.25

VI.a

(2,0 điểm)

1. Trong mặt phẳng , cho điểm và elip (E) có phương trình . Tìm tọa độ các điểm thuộc (E) sao cho tam giác vuông cân tại , biết điểm có tung độ dương.

Ta có

Gọi

H là trung điểm của

0.25

;

0.25

vuông cân tại A

0.25

Vì B có tung độ dương nên

0.25

2. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1; -5; 2), B(3; -1; -2) và đường thẳng (d) có phương trình

. Tìm điểm M trên (d) sao cho tích nhỏ nhất.

Ta có trung điểm của AB là I(2; -3; 0)

0.25

Suy ra nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất

Hay M là hình chiếu vuông góc của I trên (d).

0.25

(d) có vectơ chỉ phương

0.25

. Vậy đạt được khi

0.25

VII.a

(1,0 điểm)

Có 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30. Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tính xác suất để có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có 1 tấm mang số chia hết cho 10.

Gọi A là biến cố lấy được 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10.

Chọn 10 tấm thẻ trong 30 tấm thẻ có: cách chọn

0.25

Ta phải chọn :

5 tấm thẻ mang số lẻ trong 15 tấm mang số lẻ

1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10 trong 3 tấm thẻ mang số chia hết cho 10

4 tấm thẻ mang số chẵn nhưng không chia hết cho 10 trong 12 tấm như vậy.

0.25

Theo quy tắc nhân, số cách chọn thuận lợi để xảy ra biến cố A là:

0.25

Xác suất cần tìm là

0.25

VI.b

(2,0 điểm)

1. Trong mặt phẳng , cho hình thang với hai đáy làvà biết . Giao điểm I của hai đường chéo nằm trên đường thẳng . Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình thang để , tam giác có diện tích bằng 12, điểm có hoành độ dương và điểmcó hoành độ âm.

Vì (

0.25

Phương trình đường thẳng

Mà

0.25

Vì nên ta có

0.25

Phương trình đường thẳng ,

Tọa độ điểm là nghiệm của hệ

Vậy ,

0.25

2. Trong không gian , cho đường thẳng và mặt phẳng . Gọi là giao điểm của d và (P). Tìm tọa độ điểm thuộc đường thẳng (d), thuộc mặt phẳng (P) sao cho và .

Điểm ; Góc giữa () và (P) là (1)

0.25

Vì và nên hoặc

0.25

Mặt khác và vuông tại (2)

Suy ra (3). Từ (1), (2) và (3) là hình chiếu của lên ( P)

0.25

Tọa độ của điểm C là nghiệm của hệ phương trình

hoặc

Suy ra hoặc

0.25

VII.b

(1,0 điểm)

Tìm mô đun của số phức biết số phức là nghiệm của phương trình

Ta có

0.25

Do đó

0.25

Theo giả thiết ta có

0.25

0.25