Câu

Đáp án

Điểm

I

2,00

1

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1,00 điểm)

Tập xác định

Sự biến thiên:

0,25

Bảng biến thiên

0,25

0,25

Đồ thị:

0,25

2

Viết phương trình tiếp tuyến (1,00 điểm)

Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm có hệ số góc k là:

(d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi HPT: có nghiệm.

Từ (1) và (2) suy ra:

0,25

0,25

* Với x = 0, thay vào (2) ta được k = 0, ta có PTTT

* Với , thay vào (2) ta được ,

ta có PTTT

* Với , thay vào (2) ta được ,

ta có PTTT

0,50

II

2,00

1

Giải bất phương trình (1,00 điểm)

Điều kiện: x > 0 (*)

Khi đó:

0,25

Vì , nên

0,25

Do đó

0,25

Đối chiếu với điều kiện (*), ta được x > 3.

Vậy nghiệm của bất phương trình là x > 3.

0,25

2

Giải phương trình lượng giác (1,00 điểm)

Điều kiện:

PT

0,25

0,25

0,25

Đối chiếu điều kiện (*) ta có nghiệm của phương trình là:

0,25

III

Tính tích phân

1,00

Đặt

0,25

Đổi cận:

0,25

0,25

0,25

IV

Tính thể tích

1,00

Gọi H là trung điểm của AC, suy ra

0,25

Áp dụng định lí hàm số côsin trong tam giác SBC:

và (2)

0,25

Từ (1) và (2) suy ra:

0,25

Do đó

0,25

V

Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực

1,00

0,25

Đặt , . Ta có phương trình :

0,25

Xét hàm số , với

Ta có với mọi ,

nên f(t) đồng biến trên .

0,25

Do đó tập giá trị của f(t) là

Vậy phương trình (1) có nghiệm thực khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm thuộc đoạn , do đó

0,25

VI.a

2,00

1

Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng (1,00 điểm)

Ta có

·         Ta có .

·         Vậy góc giữa AB và CD bằng .

0,50

0,25

0,25

2

Viết phương trình mặt phẳng (1,00 điểm)

Xét các điểm với .

Ta có

0,25

Phương trình mặt phẳng đi qua các điểm M, N, P là:

Vì nên

0,25

D là trực tâm của tam giác MNP khi và chỉ khi:

0,25

Do đó .

Vậy Phương trình mặt phẳng là:

0,25

VII.a

Chứng minh bất đẳng thức

1,00

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

0,25

0,25

Chứng minh tương tự ta được : ,

0,25

Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế ta được:

0,25

VI.b

2,00

1

Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng (1,00 điểm)

Ta có

·         Ta có .

·         Vậy góc giữa AB và CD bằng .

0,50

0,25

0,25

2

Viết phương trình mặt phẳng (1,00 điểm)

Xét các điểm với .

Phương trình mặt phẳng đi qua các điểm M, N, P là:

0,25

Vì nên

0,25

0,25

dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : 4np = 2mp = mn (2)

Kết hợp (1) và (2) ta tìm được : m = 12 ; n = 6 ; p = 3.

Vậy Phương trình mặt phẳng là:

0,25

VII.b

Tìm hệ số của

1,00

Ta có:

0,25

0,25

Ta xét số hạng chứa , khi đó , với và

Có hai trường hợp: i = 4; k = 6 và i = 5; k = 10

0,25

Vậy trong khai triển ta được hệ số của là:

0,25