Tìm SỐ Hạn Tổng Quát Của Dãy Số
Soá haïng toång quaùt cuûa daõy soá
Chuyeân ñeà1: Aùp duïng sai phaân ñeå tìm soá haïng toång quaùt.
1. Ñònh nghóa : Cho y = f(x) xaùc ñònh treân taäp X , h > 0 haèng soá . Gia soá goïi laø sai phaân caáp 1 cuûa f(x) taïi ñieåm x .
ñöôïc goïi laø sai phaân caáp2 cuûa f(x) taïi x
Töông töï, ñöôïc goïi laø sai phaân caáp k cuûa f taïi x.
* Ñònh nghóa : Phöông trình sai phaân la moätø heä thöùc giöõa sai phaân caùc caáp :
(1) ( y ñöôïc xem laø sai phaân caáp 0 )
· Chuù yù : (1) coù theå vieát : yn+k = an+k-1 + a2 yn+k-2 + … + akyn + f(n)
Neáu f(n) = 0 thì (1) goïi laø phöông trình tuyeán tính thuaàn nhaát
Neáu f(n) thì (1) goïi laø phöông trình tuyeán tính khoâng thuaàn nhaát .
2. Tính chaát :
T/c1: Neáu ñeàu laø nghieäm cuûa phöông trình sai phaân tuyeán tính thuaàn nhaát : yn+k = a1yn+k-1 + …+ akyn (2)
Thì cuõng laø nghieäm cuûa phöông trình (2).
* Baây giôø ta xeùt phöông trình (2) vôùi caùc heä soá haèng a1, a2 ,…, ak. Khi ñoù nghieäm cuûa phöông trình thuaàn nhaát (2) ñöôïc tìm döôùi daïng yn= . Thay bieåu yn= vaøo (2) vaø sau khi öôùc löôïc cho , ta ñöôïc phöông trình (3)
Phöông trình (3) ñöôïc goïi laø phöông trình ñaëc tröng cuûa phöông trình sai phaân (2) . Nghieäm cuûa phöông trình (1) vaø (2) phuï thuoäc vaøo nghieäm cuûa phöông trình ñaëc tröng (3).
T/c2: Neáu phöông trình ñaëc tröng (3) coù k nghieäm thöïc phaân bieät thì y laø nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình sai phaân tuyeán tính thuaàn nhaát (2).
T/c3: Neáu phöông trình ñaëc tröng (3) coù nghieäm thöïc boäi s thì thay cho s nghieäm öùng vôùi caùc ñoù ta laáy : (c1 + c2n + c3n2 + …+ csns-1) n trong ñoù caùc c1, c2 , …, cs laø caùc haèng soá .Nghóa laø neáu (3) coù caùc nghieäm boäi s vaø caùc nghieäm coøn laïi ñeàu thöïc vaø ñôn thì :
T/c4: Neáu ptñt (3) coù nghieäm phöùc ñôn thì
T/c5: Neáu ptñt (3) coù nghieäm phöùc boäi s thì
Ñònh lyù : Neáu laø nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình thuaàn nhaát vaø y laø nghieäm rieâng cuûa phöông trình khoâng thuaàn nhaát thì nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình khoâng thuaàn nhaát ñoù coù daïng : .
Baûng moät soá daïng nghieäm rieâng.
f(n) Nghieäm cuûa PT ñaëc tröng Daïng nghieäm rieâng
+ Nghieäm
f(n) = + Nghieäm = 1 boäi s .
+ Neáu khoâng laø nghieäm cuûa ptñt
f(n) = + Neáu laø nghieäm boäi s cuûa ptñt
+ Neáukhoâng laø nghieäm cuûa ptñt
f(n) = Pm(n) n + Neáu laø nghieäm boäi s cuûa ptñt
+ Neáu khoâng laø nghieäm cuûa ptñt .
f(n) = a.cos+ .
b. + Neáu laø nghieäm boäi s cuûa ptñt
f(n) = pm(n) + Neáu khoâng laø nghieäm
+ cuûa ptñt
+ Neáu laø nghieäm boäi s
cuûa ptñt
f(n) =
+ + Neáu khoâng laø nghieäm
cuûa ptñt
+ Neáu laø nghieäm boäi s
cuûa ptñt
3. Caùc ví duï :
Ví duï 1: Daõy soá (un) ñöôïc xaùc ñònh nhö sau :
(1)
Haõy tìm un .
Giaûi:
Tröôùc heát tìm nghieäm toång quaùt cuûa pt sai phaân thuaàn nhaát:
un+2 +2un+1 – 8un = 0 (2)
vaø coù pt ñaëc tröng laø : hay
Nghieäm toång quaùt pt (2) laø : un = c12n + c2(-4)n
Ta goïi u*= a.5n nghieäm rieâng cuûa phöông trình khoâng thuaàn nhaát (1) . Khi ñoù ta coù : a.5n+2 + 2a.5n+1 – 8a.5n = 27.5n
Theo ñònh lyù nghieäm toång quaùt cuûa ph (1) laø : un = c12n + c2(-4)n + 5n
ÖÙng vôùi n = 1 , n =2 , ta ñöôïc : hay c1= -3, c2 = 2.
Vaäy un = 5n + 2(-4)n – 3.2n.
Ví duï 2:
Cho daõy (un) thoaû maõn
Chöùng minh raèng : ( un + 4 ) vôùi moïi soá n laø soá nguyeân toá :
Giaûi :
Ñaët xn = un + 3 , ta ñöôïc : x1 = -1 , x2 = 13 , xn+2 = -xn+1 + 6xn
Xeùt phöông trình ñaëc tröng :
Ta ñöôïc : xn = .
Trong ñoù
Do ñoù xn = (-3)n + 2n
Vôùi n laø soá nguyeân toá
. ( Ucbt).
Ví duï 3 : Cho daõy soá (un) xaùc ñònh nhö sau :
Chöùng minh raèng neáu P laø soá nguyeân toá thì .
Giaûi: Töø heä thöùc un+1 = 7un-1 – 6un-2
Ta coù phöông trình ñaëc tröng : x3 – 7x + 6 = 0 coù caùc nghieäm x1 = 1 , x2 = 2 , x3 = -3
Neân ta coù nghieäm toång quaùt un = a(1)n + b(2)n + c(-3)n (1).
Töø giaû thieát u1 = 1 , u2 =14 , u3 = -18, thay vaøo (1) ta coù heä phöông trình sau ñaây xaùc ñònh a , b , c
Vaäy daõy soá (un) ñöôïc xaùc ñònh nhö sau : un = 1 + 2n + (-3)n , n = 1 , 2 ,…,
Vì p laø soá nguyeân toá , neân theo ñònh lyù nhoû Fecma , ta coù :
Vaäy suy ra up = 1 + 2p + (-3)p .
Ví duï 4 : Tìm daõy soá (un) , bieát raèng :
Giaûi : Phöông trình ñaëc tröng cuûa daõy coù daïng :
x3 - 4x2 + 5x – 2 =0 hay (x – 1)2(x – 2) = 0 . Töø ñoù x1,2 = 1 boäi 2 , x3 = 2
Bôûi vaäy un = c1 + c2n + c32n khi n = 0 , 1 , 2 ta coù heä
Vaäy un = -1 – n + 2n .
Ví duï 5 : Giaûi phöông trình sai phaân tuyeán tính thuaàn nhaát sau :
xn+7 – xn+6 + xn+5 - xn+4 – xn+3 + xn+2 –xn+1 + xn = 0
Giaûi:
Phöông trình sai phaân ñaõ cho coù ptñt laø :
(1)
Phöông trình (1) coù nghieäm laø :
Do ñoù ta coù :
Neáu ta bieát 7 giaù trò ban ñaàu thì ta seõ tìm ñöôïc c1, c2 , …, c7 baèng caùch giaûi heä phöông trình goàm 7 phöong trình vaø 7 aån .
Ví duï 6:
Giaûi phöông trình sai phaân tuyeán tính khoâng thuaàn nhaát sau ñaây :
Giaûi : Phöông trình (1) töông ñöông vôùi
(2)
Phöông trình ñaëc tröng coù daïng : + 4 = 0
Do laø nghieäm cuûa phöông trình ñaëc tröng.
Theo baûng , nghieäm rieâng coù theå vieát döôùi daïng :
Thay vaøo phöông trình (2) ta ñöôïc :
4n.2n
Khai trieån vaø caân baèng heä soá ta ñöôïc :
Do vaäy : (*)
Do Ptñt chæ coù hai nghieäm phöùc lieân hôïp , neân theo tính chaát 5 ta coù :
(**)
Do neân töø (*) vaø (**) ta coù :
(***)
Do neân thay vaøo (***) ta ñöôïc a = b = 1 suy ra xn.
Baøi taäp : Tìm soá haïng toång quaùt cuûa caùc daõy sau .
1. u1 = 1, un+1 = un +2n2 .
2. uo = 0 ; u1 = 5 ; un-2 = 2un-1 – un + 6n + 4.
3. u0 = 0 ; u1 = 5 ; un-2 = 3un-1 – 2un + 4.3n.
4. u0 = -1 ; u1 = 2 ; un-2 = 5un-1 –6un + (8n + 11).2n-1
5. u0 = 1 ; u1 = 0 ; un-2 = 2un+1 – un + sin n.
Chuyeân ñeà 2 : Moät soá phöông phaùp tìm soá haïng toång quaùt
Vaán ñeà1 : Daõy qui naïp tuyeán tính baäc nhaát .
Baøi toaùn daïng a.un+1 + b.un = f(n) , trong ñoù f(n) laø haøm theo n
Baøi toaùn 1. Tìm soá haïng toång quaùt cuûa daõy
Ví duï 1: Cho daõy (un) xaùc ñònh bôûi
Tìm soá haïng toång quaùt cuûa daõy.
Giaûi :
Xeùt a = 1 . Ta coù laø caáp soá coäng d = b
Vaäy un = c + (n –1)b
Xeùt . Ta coù theå ñöa daõy veà CSN coâng sai a
Thaät vaäy , ñaët vn = un + h ( h haèng soá )
Vaø vn+1= avn
Ta coù v1 = c + h = Vaäy
Chuù yù a = 0 thì un = b
Ví duï 2. Tìm soá haïng toång quaùt cuûa daõy :
Giaûi : Ta coù
Ñaët . Daõy ñaõ cho ñöa veà daïng
Xeùt a = 1 . Ta coù vn = c + (n -1) b
Xeùt a ( theo ví duï 1)
Vaäy
Ví duï 3 . Tìm un cuûa daõy sau :
Giaûi. Ta coù un+1 =
Laáy logarit cô soá e caû hai veá ta ñöôïc lnun+1 = alnun +
Ñaët vn = lnun , b =
Daõy ñaõ cho trôû thaønh
Xeùt a =1 . Ta coù : vn = c + (n – 1)b = ln
Suy ra
Xeùt . Ta coù vn =
Baøi toaùn 2. Tìm soá haïng toång quaùt cuûa daõy
Vôùi f(n) laø ña thöùc theo n .
*Phöông phaùp : Ta coù theå ñöa veà baøi toaùn 1 baèng caùch ñaët vn = un + g(n)
trong ñoù vn+1 = avn vaø g(n) laø ña thöùc thoaû :
Neáu a = 1 thì g(n) = n g’(n) trong g’(n) ña thöùc cuøng baäc f(n).
Neáu a thì g(n) cuøng baäc vôùi f(n) .
Baèng caùch ñoàng nhaát thöùc suy ra g(n).
Ví duï 1. Tìm soá haïng toång quaùt un bieát
Giaûi. Ta coù a = 1 , neân ta choïn g(n) = n(bn + c)
Ñaët vn = un + g(n) vaø thoaû vn+1 = avn ( a = 1)
Töø ñoù suy ra un+1 + g(n+1) = un + g(n)
do ñoù g(n) = -n(n – 1). Ta coù vn+1 = vn suy ra vn = C ( haèng soá)
Suy ra un = C - g(n) = C + n(n – 1) . Töø u1 = 2 suy ra C = 2.
Vaäy un = n2 – n + 2 .
Ví duï 2. Tìm soá haïng toång quaùt un bieát
Giaûi . Ta coù A = 3 , neân ta choïn g(n) = an2 + bn + c.
Ñaët vn = un + g(n) vaø thoaû vn+1 = 3vn.
Töông töï nhö ví duï 1 , ñoàng nhaát thöùc suy ra
Neân . Töø ñoù suy ra un
Vaäy
Ví duï 3. Tìm soá haïng toång quaùt cuûa daõy bieát :
Giaûi . Ta coù
Laáy logarit cô soá a hai veá ta ñöôïc
logau1 = 5
Ñaët vn = logaun suy ra vn+1 = 3vn + n2 +1, v1 = 5
Theo ví duï hai ta ñöôïc vn = 3n-1 +
Vaäy un = .
Baøi toaùn 3 Tìm soá haïng toång quaùt cuûa daõy
Phöông phaùp : Ta coù theå ñöa baøi toaùn veà daïng baøi toaùn 1 baèng caùch :
Ñaët vn = un + g(n) vôùi vn+1 = avn , ñoàng thôøi g(n) thoaû :
Neáu
Neáu a =
Theá vaøo bieåu thöùc (vn) roài ñoàng nhaát thöùc heä soá , suy ra g(n) .
Töø ñoù ta coù un.
Ví duï 1 Cho daõy (un) ñöôïc xaùc ñònh nhö sau :
Tìm soá haïng toång quaùt un cuûa daõy .
Giaûi . Ta coù
Laáy logarit cô soá a hai veá ta ñöôïc logaun+1 = 3logaun + 2n (1)
Neáu ñaët vn = logaun ta seõ ñöôïc :
Ñaët wn = vn + A.2n .Theá vaøo wn+1 = 3wn ta ñöôïc A = 1
Wn = b 3n-1 suy ra vn = b.3n-1 – 2n maø v1 = b – 2 = 1 neân b = 3
Töùc laø vn = 3n – 2n . Vì vn = logaun neân
Vaäy .
Ví duï 2. Cho daõy (un) ñöïôc xaùc ñònh nhö sau :
Tìm soá haïng toång quaùt cuûa daõy .
Giaûi . Ta thaáy a = Neân ta ñaët g(n) = A.n.4n
Ñaët vn+1= un + g(n) vôùi vn+1 = 4.vn
Do ñoù ta coù : un+1 + g(n+1) = 4 (un + g(n) )
Töø vn+1 = 4vn (1)
Do u1 =
Ví duï 3. Tìm soá haïng toång quaùt un cuûa daõy xaùc ñònh bôûi :
Giaûi . Töø
Do ñoù
Vaäy
Baøi taäp.
1) Tìm soá haïng toång quaùt un cuûa daõy
2) Cho daõy (un) ñöôïc xaùc ñònh nhö sau : Tìm soá haïng toång quaùt cuûa daõy .
3) Tìm soá haïng toång quaùt un cuûa daõy
4) Tìm soá haïng toång quaùt cuûa daõy
5) Tìm soá haïng toång quaùt cuûa daõy
6) Tìm soá haïng toång quaùt cuûa daõy
Vaán ñeà 2 : Moät soá baøi toaùn veà phöông trình daõy vôùi caëp chæ soá töï do
Khi gaëp phöông trình daõy vôùi caëp chæ soá töï do vôùi caùc thay theá chæ soá ta ñöa veà phöông trình sai phaân quen bieát . Vieäc thay theá naøy coù theå ñöa veà phöông trình daõy khoâng töông ñöông . Do ñoù khi giaûi xong ñaùp soá caàn phaûi thöû laïi trong moät tröôøng hôïp.
Ví duï 1. Xaùc ñònh soá haïng toång quaùt cuûa daõy (xn) thoaû maõn :
Giaûi :
Töø Pt (1) , ta suy ra : xn+1 = x1 + xn +n
hay xn-1 – xn = a + n (2) ñaây laø phöông trình sai phaân tuyeán tính khoâng thuaàn nhaát caáp 1 ; phöông trình ñaëc tröng coù nghieäm (ñôn)
Ta coù nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình thuaàn nhaát vaø nghieäm rieâng laø :
Thay ôû ñaây vaøo (2) ta ñöôïc (3)
Töø ñoù suy ra nghieäm toång quaùt cuûa (1) laø :
Thay c = 0 vaøo (3) ta ñöôïc :
Thöû laïi ta thaáy keát quaû naøy thoaû maõn ñieàu kieän ban ñaàu .
Ví duï 2:
Toàn taïi hay khoâng toàn taïi daõy (xn) maø ta coù :
xm+n = xm + xn + m+ n. (1)
Giaûi : Giaû söû x1 = a , theo ví duï 1 ta coù
Thöû laïi : x1 = a neân ta coù tieáp : x2 = x1 + x1 +1 + 1 = 2a +2
x3 = x2 + x1 + 3 = 2a +2 + a +3 = 3a + 5
x4 = x3 + x1 + 4 = 3a + 5 + a + 4 (2)
x4 = x 2 + x2 + 4 = 2(2a + 2) + 4 = 4a + 8 (3)
Do 4a + 9 neân töø (2) vaø (3) ta coù x4 voâ lyù . Vaäy khoâng toân taïi daõy (xn) thoaû maõn ñieàu kieän cuûa baøi toaùn .
Ví duï 3: Xaùc ñònh soá haïng toång quaùt cuûa daõy soá (xn) neáu bieát :
Giaûi : Hieån nhieân ta coù : (2)
Töø (1) vaø (2) ta coù : xn = (3)
Giaûi phöông trình sai phaân tuyeán tính thuaàn nhaát (3) vôùi ñieàu kieän ban ñaàu
Thöû laïi ta thaáy keát quaû naøy hoaøn toaøn ñuùng.
Ví duï 4 : Xaùc ñònh daõy soá (xn) neáu bieát : xn.m = xm.xn (1)
Giaûi :
Ta coù : xm = xm.1 = xm.x1 suy ra x1 = 1
Giaû söû coù theå nhaän giaù trò tuy yù . Giaû söû . Khi ñoù ta coù :
Ñeå cho goïn ta kyù hieäu (2)
Ta thaáy phöông trình (2) laø phöông trình tuyeán tính thuaàn nhaát .
Do ñoù (3)
Baøi taäp :
1. Xaùc ñònh soá haïng toång quaùt cuûa daõy (xn) neáu bieát :
Ñs : xn =
2. Xaùc soá khoâng aâm x0 , x1 , x2 , … thoaû maõn
Ñs : xn = n2
3. Xaùc ñònh soá haïng toång quaùt cuûa daõy soá (xn) neáu bieát
Ñs : xn= (-1)n
4. Tìm daõy soá (xn) sao cho :
Ñs : xn =
5. Xaùc ñònh daõy soá (xn) thoaû maõn :
Ñs : xn =
6. Xaùc ñònh daõy soá (xn) thoaû maõn :
Ñs : xn =
7. Xaùc ñònh daõy soá (xn) thoaû maõn :
Ñs : xn = 2n + 2-n
Vaán ñeà 3: Moät soá phöông trình sai phaân töï tuyeán tính hoaù
Ví duï1:
Xaùc ñònh soá haïng toång quaùt cuûa daõy (xn) neáu bieát :
Giaûi : Ta coù :
Pt (1)
Töø (2) ta thay (n+1) bôûi n ta cuõng coù :
Tröø töøng veá cuûa (2) vaø (3) ta ñöôïc :
Giaûi phöông trình sai phaân tuyeán tính thuaàn nhaát (4) bieát
Ví duï 2: Xaùc ñònh soá haïng toång quaùt cuûa daõy (xn) neáu bieát :
Giaûi : Pt (*)
Töø (1) ta thay n bôûi (n – 1) ta ñöôïc :
Tröø töøng veá cuûa (1) vaø (2) ta ñöôïc :
Do ñoù : xn = t (xn+1 + xn-1). Ñaây laø phöông trình sai phaân tuyeán tính thuaàn nhaát heä soá haèng coù phöông trình ñaëc tröng laø t ñaõ bieát caùch giaûi.
Baøi taäp :
1. Xaùc ñònh daõy soá (xn) neáu bieát :
(*)
( Hd: ñöa phöông trình (*) veà phöông trình bxn = a(xn+1 + xn-1) )
2. Cho daõy soá (xn) xaùc ñònh bôûi
Haõy xaùc ñònh soá haïng toång quaùt cuûa xn.
Chöùng minh raèng soá coù theå bieåu dieãn thaønh toång bình phöông cuûa 3 soá nguyeân tieáp
3. Xaùc ñònh daõy soá (xn) neáu bieát :
Ñs : x
4. Xaùc ñònh daõy soá (xn) neáu bieát :
Ñs :
5. Cho daõy soá (xn) ñöôïc xaùc ñònh nhö sau :
Haõy xaùc ñònh daõy soá (xn).
6. Cho daõy soá (xn) laø daõy thöïc xaùc ñònh bôûi :
Chöùng minh raèng :
( Hd : Ñöa pt (*) veà daïng xn+4 = 4xn+2 – xn . Vì (x1,x2,x3,x4) neân heä thöùc treân chæ ra raèng ( baèng qui naïp theo n)).
Vaán ñeà 4 : Phöông phaùp ñoåi daõy
Ñeå xaùc ñònh soá haïng toång quaùt cuûa daõy soá ta thöôøng ñöa phöông trình cuûa daõy veà phöông trình sai phaân ñaõ bieát caùch giaûi hoaëc ñöa ñeán nhöng phöông trình daõy deã giaûi hôn baèng caùch ñaëc daõy soá phuï coøn goïi laø phöông phaùp ñoåi daõy.
Ñeå tìm nhöõng caùch ñaëc daõy soá phuï ta thöôøng nghòch ñaûo , logarit hoaù , muõ hoaù, ….caùc bieåu thöùc ban ñaàu . Sau ñaây laø moät vaøi ví duï vaø baøi taäp minh hoaï.
Ví duï 1: Haõy tìm taát caû caùc giaù trò thöïc a ñeå
x1 = a ; (1) , xaùc ñònh moät daõy ,
haõy tìm soá haïng toång quaùt cuûa daõy soá .
Giaûi:
Ta coù (1) (2)
Ñaët (3)
Phöông trình (3) ñaõ bieát caùch giaûi vaø giaûi ra ta ñöôïc : (4)
Töø (*) vaø (4) ta coù : (5)
Ta phaûi tìm giaù trò cuûa a sao cho . Nghóa laø töø (5) ta caàn phaûi coù :
Do ñoù , khi xaùc ñònh moät daõy vaø soá haïng toång quaùt cuûa daõy laø : .
Ví duï 2: Xaùc ñònh soá haïng toång quaùt cuûa daõy (xn) neáu bieát :
Giaûi : Ta coù ph (1)
Ñaët yn = xn + b khi ñoù ta coù (2) phöông trình naøy chính laø phöông trình sai phaân töï tuyeán tính hoaù ñaõ bieát caùch giaûi ( ví duï 2 ) .
Ví duï 3 :
Tìm (xn) bieát (1)
Trong ñoù :
Giaûi. Ta coù : (1) (2)
Ñaët . Khi ñoù ta coù (2) (3)
Phöông trình (3) laø phöông trình sai phaân töï tuyeán tính hoaù daïng 1 maø ta ñaõ bieát caùch giaûi .
Ví duï 4 :
Xaùc ñònh daõy soá (xn) bieát :
Trong ñoù : g(0)
Giaûi . Ñaët daõy phuï : (2)
Khi ñoù ta coù
(3)
Töø ñaúng thöùc (3) ta coù caùc ñaúng thöùc sau :
; ;….;
Coäng veá vôùi caùc ñaúng thöùc treân ta ñöôïc
Vaäy töø caùch ñaët aån phuï ban ñaàu (2) ta coù
, n > 1 (4)
Trong tröôøng hôïp ( c laø haèng soá )
Thì coâng thöùc (4) trôû thaønh , n > 1
Hay , n > 1 (5)
Nhö vaäy ta coù theå coïi vieäc giaûi pt(1) laø vieäc tính tích .
Ví duï 5 . Xaùc ñònh daõy soá (xn) neáu bieát x1= a > 0 , (1)
Trong ñoù f(n) > 0 . \
Giaûi . Ta coù (1) (2)
Ñaët daõy phuï (3) . Khi ñoù ta coù : (2) (4)
Laáy logarit hoaù hai veá cuûa phöông trình (4) theo cô soá e ta ñöôïc : lnvn+1= k.lnvn (5)
Ñaët daõy phuï un = lnvn (6) . Khi ñoù ta coù : (5) (7)
trong ñoù c laø haèng soá . Töø (6) vaø (3) ta coù
do ñoù thay vaøo (7) ta ñöôïc
Vaäy (8)
Töø (3) , (6) , (8) ta coù
Vaäy
Ví duï 6. Xaùc daõy soá (xn) neáu bieát
Giaûi . Ñaët daõy (2) .
Khi ñoù ta coù : (1)
(3)
Töø (2) ta coù : x1 = 3y1
Ta seõ chöùng minh qui naïp raèng
Thaät vaäy : ñuùng .
Giaû söû ñuùng ta chöùng minh
Töø (3) ta coù = 2 (ñpcm)
Thay yn= vaøo (2) ta ñöôïc
Ví duï 7. Xaùc ñònh soá haïng toång quaùt cuûa daõy (xn) neáu xn thoaû
phöông trình daõy sau daây : (1*)
trong ñoù
Giaûi . Ta ñaët daõy phuï nhö sau : (1)
Khi ñoù ta coù : (1*) (2)
Ñaët chæ soá phuï nhö sau : (3)
Khi ñoù ta coù m thuoäc N vaø ta coù :
Pt (2) (4)
Ñaët daõy phuï (5)
Khi ñoù ta coù , pt (4) (6)
Ñaët daõy phuï (7)
Khi ñoù ta coù : (6) (8)
Do ñoù (9)
vôùi vk tuyø yù vaø m =
Töø (1) , (3) , (5) ,(7) vaø (9) ta coù :
Trong ñoù vk tuyø yù vaø
Ví duï 8 : Giaûi phöông trình sai phaân thöùc :
trong ñoù : p , q , r , s : laø caùc soá ñaõ bieát .
Giaûi . Giaû söû yn , xn : laø nghieäm cuûa heä phöông trình sai phaân
(1)
thì laø nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho .
Thaät vaäy , ta chöùng minh baèng qui naïp nhö sau :
( ñpcm)
Deã daøng giaûi (1) baèng caùch ñöa veà phöông trình sai phaân
thuaân nhaát
Ví duï 9 .
Haõy tìm soá haïng toång quaùt cuûa daõy soá (xn) thoaû maõn :
Giaûi. iNeáu d > 0 : Giaû söû yn vaø zn laø nghieäm cuûa heä :
(I)
Thì laø nghieäm cuûa phöông trình. Chöùng minh töông töï nhö ôû ví duï 9.
Nhö vaäy ñeå giaûi phöông trình (1) caàn phaûi giaûi heä moät (I)
Ta coù : (I)
Coäng veá vôùi veá (2) vaø (3) ta ñöôïc :
Do ñoù : (4)
Töông töï tröø töøng veá cuûa (2) vaø (3) ta cuõng coù (5)
Töø (4) vaø (5) ta coù : (*)
Do neân töø (*) ta coù :
Thöû laïi baèng qui naïp cho thaáy keát quaû vöøa tìm ñöôïc ôû treân laø ñuùng.
ii) Neáu d < 0 Ñaët d = - k , k > 0 .G
Giaû söû yn , zn laø nghieäm cuûa heä
Thì laø nghieäm cuûa heä . Cm tuông töï ví duï 9.
Ta giaûi heä hai nhö sau : (II)
Ta laàn löôït coäng veá theo veá vaø tröø veá theo veá cuûa (6) vaø (7) ta coù :
Do neân töø (8) vaø (9) ta coù :
Vaán ñeà 5 : Phöông phaùp ñöa veà löôïng giaùc
vaø caùc haøm Hypebolic.
I)-Cô sôû lyù thuyeát :
Caùc haøm cosx , sinx coù mieàn giaù trò laø [-1 ; 1] neân khi chuyeån daõy soá veà daïng caùc haøm soá löôïng giaùc raùt haïn cheá . Chuù yù döa vaøo caùc daáu hieäu sau :
·
·
·
· x2 + y2 = k2 : Ñaët
· |x|
· …….
Caùc haøm Hypebolic coù mieàn giaù trò roäng hôn coù theå giaûi quyeát ñöôïc haïng cheá treân vaø cuõng coù nhöõng tính chaát töông töï haøm soá löôïng giaùc .
Tính chaát haøm soá Hypebolic nhö sau :
* Haøm sinhypebolic : MXÑ : R
* Haøm coshypebolic : y = chx = MXÑ : R
T/c : f(x+y) + f(x-y) = 2f(x).f(y)
*Haøm Tghypebolic : y = thx =
T/c : ; MGT [-1;1]
· Haøm Cotghyperbolic : y = cothx =
T/c : f(x + y) =
* ch2x + sh2x = 1 ; sh2x = 2 shx chx
ch2x = 2ch2x – 1 ; sh(x+y) = shx chy + shychx
ch (x+y) = chx chy + shx chy .
th(x+y) = ; coth(x+y) =
Ví duï 1. Cho daõy soá (un) ñöôïc xaùc ñònh nhö sau :
u1 = 2 ; un+1 = , n = 1 , 2 , 3 ,…
a) Chöùng minh raèng
b) Chöùng minh raèng daõy ñaõ cho khoâng tuaàn hoaøn .
Giaûi . Ñaët A = arctg2 ( töùc laø tgA = 2) . Baèng qui naïp ta seõ chöùng minh raèng daõy soá un = tg(nA) (1)
Thaät vaäy khi n = 1, thì moät hieån nhieân ñuùng ( vì theo giaû thieát u1 = 2 = tgA). Giaû söû ñaõ ñuùng ñeán n = k , töùc laø : uk = tg(kA) (2)
Ta coù :
Vaäy (2) cuõng ñuùng khi n = k+1. Theo nguyeân lyù qui naïp thì (1) ñuùng
Baây giôø ta giaûi baøi toaùn .
a) - Roõ raøng (3)
Giaû thieát phaûn chöùng giaû söû un = 0 . Xeùt hai khaû naêng sau :
1) Neáu n chaün , khi ñoù n = 2m . Theo (3) suy ra um = 0. (4)
2) Neáu n leû , khi ñoù bao giôø ta cuõng coù bieåu dieãn n döôùi daïng :
Söû duïng un = 0 vaø coâng thöùc (3) , ta seõ ñi ñeán : u2s+1 = 0 (5)
Töø (4) ta suy ra neáu m coøn chaün , thì ta laïi thöïc hieän tieâps qui trình ñoù, cho ñeán khi m laø leû.
Toùm laïi neáu toàn taïi n sao cho un = 0, thì ñi ñeán moät soá nguyeân s ,
sao cho : u2s+1 = 0. Ta coù u2s + 1 =
Do ñoù suy ra u2s = -2. Laïi theo (3) suy ra : (6)
Ta bieát raèng neáu us thoaû maõn (6) thì us phaûi laø soá voâ tyû ( vì nghieäm cuûa phöông trình x2 – x – 1 = 0 laø : ) nhöng do u1 = 2 laø soá höõu tyû neân töø caùch xaùc ñònh : ta suy ra moïi soá haïng cuûa daõy laø soá höõu tyû. Vaäy ñi ñeán ñeàu voâ lyù . Nhö theá giaû thieát phaûn chöùng laø sai .
b) - Ta chöùng minh moät ñieàu maïnh hôn , khoâng daõy soá ñaõ cho khoâng tuaàn hoaøn maø noù chæ nhaän giaù trò naøo ñoù ñuùng moät laàn . Thaät vaäy giaû söû toàn taïi hai soá haïng cuûa daõy cuøng nhaän moät giaù trò . ñieàu ñod coù nghóa laø toàn taïi caùc soá nguyeân m , n vôùi sao cho : un+m = un
Töø ñoù ta coù : tg(n+m)A = tgnA
Töø (*) suy ra ñieàu voâ lyù , vì theo phaàn moät vöøa chöùng minh .
Vaäy giaû thieát phaûn chöùng laø sai suy ra ñieàu phaûi chöùng minh .
Chuù yù : Deã daøng chöùng minh ( baèng qui naïp ) ,
vaây daõy ñaõ cho xaùc ñònh vôùi moïi x .
Ví duï 2. Cho daõy soá ñöôïc xaùc ñònh bôûi :
Tìm u2003.
Giaûi. Ta coù tg
Vieát laïi bieåu thöùc un+1 döôùi daïng sau : (1)
Ñaët un = tgA thì töø (1) suy ra : (2)
Vì u1 = neân töø (2) theo nguyeân lyù qui naïp deã daøng suy ra:
Vaäy :
Ví duï 3.
1) Daõy (un) ñöôïc xaùc ñònh :
Tìm
2) Daõy (un) ñöôïc xaùc ñònh :
Tìm
Giaûi . 1. Ta chöùng minh un = 2cos (1)
( Baèng qui naïp ta deã daøng chöùng minh (1))
Ta coù =
= =
Vaäy ta coù : = =
Töø caâu 1 suy ra =
Vaäy
Ví duï 4. Tìm soá haïng toång quaùt caùc daõy sau :
a) b)
c) d)
Giaûi .
a) Ñaët u1 = a = ch
suy ra u2 = ch2 . Qui naïp suy ra un = ch2n-1
b) Töø giaû thieát suy ra {un{ < 1 vôùi moïi n
ñaët a = sin ,
u2 = sin2n-1
c) Ñaët u1 = sh = a
u2 =
d) Töông töï.
Ví duï 5. Tìm soá haïng toång quaùt cuûa caùc daõy .
a) u1 = a , un+1 =
b) u1 = a , un+1 =
Giaûi .
a) Ñaët u1 = a = tga ( a , b ¹
B = tg
Giaû söû
Ta phaûi chöùng minh un+1 =
Thaät vaäy un+1 =
Vaäy
b) Ñaët u1 = a =
u2 =
Qui naïp ta ñöôïc
Ví duï 6. Tìm soá haïng toång quaùt cuûa daõy :
a)
b)
Giaûi . a) Ñaët u1 = a = tga
Qui naïp
b) Ñaët u1 = a = tha
Qui naïp ta ñöôïc un = th
Baøi Taäp:
1) Tìm soá haïng toång quaùt cuûa caùc daõy soá
a) b)
c) d)
2) Haõy bieåu thò an theo a , n :
3) Tìm soá haïng toång quaùt caùc daõy sau ñaây :
a)
b)
No comments: