VỀ MỘT CÂU HÌNH HỌC TRONG ĐỀ TOÁN KHỐI A NĂM 2012

LTS. Trong đề thi tuyển sinh vào Đại học – Cao đẳng khối A năm 2012, có một câu hình học giải tích phẳng khá lý thú, xin cung cấp cho các em học sinh một số cách giải để tham khảo. (Nguyễn Thành Bửu – trường THPT Tây Ninh)

Đề (A.2012) Cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC, N là điểm trên cạnh CD sao cho . Giả sử và đường thẳng AN có phương trình. Tìm toạ độ điểm A.

Cách giải 1

Dựng điểm P sao cho thì , suy ra AMP là tam giác vuông cân tại A.

Từ suy ra tại I. Do đó tam giác MAI vuông cân tại I.

Ta có (*)

Do nên . Từ (*) được:

Vậy hoặc

Cách giải 2

Gọi a là độ dài cạnh hình vuông ABCD.

Gọi I là hình chiếu của M trên AN thì tam giác AIM vuông cân tại I.

Ta có (*)

Do nên . Từ (*) được:

Vậy hoặc

Cách giải 3

Gọi a là độ dài cạnh hình vuông ABCD. Gọi I là giao điểm của AN và BD.

Suy ra tứ giác ABMI nội tiếp. Mà . Vậy tam giác

AIM vuông cân tại I.

Ta có (*)

Do nên . Từ (*) được:

Vậy hoặc

Cách giải 4

Gọi a là độ dài cạnh hình vuông ABCD

Viết phương trình đường thẳng (D) đi qua M và hợp với AN một góc 45⁰,

Ta được phương trình của (D) là hoặc .

Kết hợp từng phương trình trên với phương trình AN để tìm A.

Kết quả: hoặc .

Cách giải 5

Gọi a là độ dài cạnh hình vuông ABCD thì:

Khoảng cách từ M đến AN là . Từ , suy ra

Từ tam giác AND vuông tại N, ta có

Do nên . Từ tam giác vuông ABM, ta có:

Vậy hoặc

…………….. .. HẾT ……………..