GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH PHẲNG

(Xét trong mặt phẳng với hệ toạ độ vuông góc Oxy)

 

LTS. Theo quan sát, tôi nhận thấy nhiều bạn học sinh còn lúng túng trong cách giải quyết các bài toán về góc trong hình học giải tích phẳng. Bài viết này hỗ trợ một phần nhỏ về mặt kỹ thuật, giúp các bạn tự tin hơn khi giải quyết các bài toán loại này.

(Nguyễn Thành Bửu – trường THPT Tây Ninh)

1. Nhắc lại một số kiến thức trọng tâm.

a) Biểu thức toạ độ của tích vô hướng

Cho với thì:

b) Góc giữa hai vectơ

· Cho hai vectơ và khác . Từ một điểm O, vẽ và . Góc được gọi là góc giữa hai vectơ và , ký hiệu là .

· Nếu gọi là số đo của góc giữa hai vectơ và thì .

c) Góc giữa hai đường thẳng

· Hai đường thẳng và cắt nhau tạo thành bốn góc. Góc nhỏ nhất trong bốn góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng và , ký hiệu là .

· Gọi là số đo của góc thì (Khi hay thì qui ước ).

d) Kết quả

· Cho hai đường thẳng và có VTPT lần lượt là . Gọi số đo của góc thì:

· Cho hai đường thẳng và có VTCP lần lượt là . Gọi số đo của góc thì:

2. Một số ví dụ.

a) Bài toán 1. Cho tam giác ABC vuông cân tại A có và phương trình đường thẳng BC là . Viết phương trình các đường thẳng AB và AC.

Các bạn hãy quan sát ba cách giải sau:

 

 

 

 

 

 

 

Cách 1:

- Do đi qua nên phương trình đường thẳng có dạng: (với ). Suy ra là VTPT của . Mặt khác là VTPT của BC.

- Từ giả thiết tạo với BC một góc , ta có:

Do đó:

.

Với : cho thì , khi đó phương trình đường thẳng là

Với : cho thì , khi đó phương trình đường thẳng là

- Không mất tính tổng quát, nếu chọn phương trình đường thẳng AB là thì phương trình đường thẳng AC là và ngược lại.

Cách 2:

- Đường thẳng đi qua A và có hệ số góc k là: . Suy ra là VTPT của . Mặt khác là VTPT của BC.

- Từ giả thiết tạo với BC một góc , ta có: .

Do đó: .

Với : phương trình đường thẳng là .

Với : phương trình đường thẳng là .

- Không mất tính tổng quát, nếu chọn phương trình đường thẳng AB là thì phương trình đường thẳng AC là và ngược lại.

Cách 3:

- Phương trình đường thẳng (D) đi qua A và vuông góc BC là .

- Gọi I là hình chiếu của A trên BC. Từ phương trình của (D) và BC ta tìm được .

- Đỉnh B của tam giác ABC thoả mãn điều kiện:

Từ , ta có . Thay vào hệ thức còn lại và bình phương hai vế, ta được

Với thì , khi đó phương trình đường thẳng AB là .

Với thì , khi đó phương trình đường thẳng AB là .

Do vai trò của B và C như nhau nên nếu chọn phương trình đường thẳng AB là thì phương trình đường thẳng AC là và ngược lại.

Bình luận

1) Các bạn cần chú trọng rèn kỹ năng sử dụng kỹ thuật tìm hệ số a, b của x, y trong phương trình đường thẳng ở cách 1, vì kỹ thuật này an toàn và được sử dụng nhiều trong các bài toán liên quan đến góc và khoảng cách.

2) So sách cách 1 và cách 2, ta thấy giải bằng cách 2 đơn giản hơn so với cách 1. Tuy nhiên cách 2 là cách giải chưa chặt chẽ. Ở một số bài toán, khi làm các bạn sẽ bị mất nghiệm. Nguyên do là ở ví dụ trên, cả hai đường thẳng cần viết phương trình đều có hệ số góc, nên trong kết quả luôn xuất hiện chúng. Nếu một trong hai đường thẳng cần tìm vuông góc với trục x’Ox (đường thẳng cần tìm này không có hệ số góc) thì trong cách giải 2, sẽ không xuất hiện chúng. Các bạn có thể giải các bài toán sau bằng cách 2 để thấy điều đó:

a) Cho tam giác ABC vuông cân tại A có và phương trình đường thẳng BC là . Viết phương trình các đường thẳng AB và AC.

b) Viết phương trình đường thẳng đi qua và tiếp xúc với đường tròn (C) tâm , bán kính .

Cách khắc phục: xét đủ hai trường hợp đường thẳng cần tìm vuông góc Ox và không vuông góc Ox.

3) Cách giải 3 là cách giải được sử dụng nhiều (tuy ở bài này có hơi rườm rà) trong các bài toán thi tuyển sinh vào đại học – cao đẳng.

Các bài toán tương tự

Bài 1. Viết phương trình các đường thẳng chứa cạnh của hình vuông ABCD biết , .

Bài 2. Cho tam giác đều ABC có đỉnh , phương trình . Viết phương trình các đường thẳng AB, AC.

Bài 3. Cho điểm và đường thẳng . Viết phương trình đường thẳng đi qua A và hợp với đường thẳng D một góc sao cho .

Bài 4. (Khối B/2002) Cho hình chữ nhật ABCD có tâm , phương trình đường thẳng AB là và . Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C, D biết rằng đỉnh A có hoành độ âm.

Hướng dẫn: Từ giả thiết ta có tam giác IAB cân tại I và . Bài toán trở thành: Viết phương trình đường thẳng đi qua I và hợp với AB một góc trong đó . (Các bạn cũng có thể áp dụng cách giải 3 của bài toán 1 để giải).

Bài 5. (Khối A/2012) Cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC, N là điểm trên cạnh CD sao cho . Giả sử và đường thẳng AN có phương trình . Tìm toạ độ điểm A.

Hướng dẫn:

Cách 1. Viết phương trình đường thẳng (D) đi qua M và hợp với AN một góc 45⁰, ta được phương trình của (D) là hoặc . Kết hợp từng phương trình trên với phương trình AN để tìm A.

Cách 2. Gọi I là hình chiếu của M trên AN thì tam giác AIM vuông cân tại I.

Ta có (*)

Do nên . Từ (*) được:

. Vậy hoặc .

b) Bài toán 2. Cho tam giác ABC cân tại A có , . Viết phương trình đường thẳng AC biết nó đi qua điểm .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Giải

Đường thẳng AB nhận làm VTPT.

Đường thẳng BC nhận làm VTPT.

Gọi (với ) là VTPT của AC ()

Vì tam giác ABC cân tại A nên

(do )

.

· Với : chọn thì . Trường hợp này bị loại vì khi đó .

· Với : chọn thì . Suy ra và phương trình đường thẳng AC là .

Bài tập tương tự

Bài 1. Cho tam giác ABC cân tại A có , . Viết phương trình đường thẳng AC biết nó đi qua điểm .

Bài 2. (Khối D/2012) Cho hình chữ nhật ABCD. Các đường thẳng AC và AD lần lượt có phương trình là và ; đường thẳng BD đi qua điểm . Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD.

Hướng dẫn: Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD thì tam giác IAD cân tại I. Áp dụng cách giải của bài toán 2, các bạn tìm được phương trình đường thẳng BD. Từ đó suy ra toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD.

----------- HẾT -----------