Câu

ý

Đáp án

Điểm

Câu I

(2,0)

1.

(1,0)

Khi m =1

Tập xác định: .

Chiều biến thiên:

® y’>0

,

0,5

+ Hàm số luôn đồng biến trên

+ Hàm số có không cực đại và cực tiểu tại.

0,25

Đồ thị giao với Oy tại (0;1)

0,25

2.

(1,0)

Phương trình đường thẳng (L) có hệ số góc là nên hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm là k=2. Lúc đó nếu x là hoành độ tiếp điểm thì

Bài toán trở thành tìm tất cả các m sao cho phương trình (1) có đúng một nghiệm âm.

0,25

Nếu m=0 thì (1) loại

0,25

Nếu thì dễ thấy phương trình (1) có 2 nghiệm là

0,25

do đó để có một nghiệm âm thì

Vậy thì trên (C) có đúng một tiếp điểm có hoành độ âm thỏa yêu cầu đề bài

0,25

Câu II

(2,0)

1.

(1,0)

Phương trình tương đương với

0,5

Vậy phương trình có nghiệm khi

0,25

hệ vô nghiệm tức phương trình vô nghiệm

0,25

2.

(1,0)

Điều kiện và

và nên đặt với thì sẽ đưa đến hệ

0,25

0,25

Đặt thì được phương trình

(loại t=-3)

0,25

Với t=1 tức (loại ) tức So với điều kiện ban đầu loại, nên hệ vô nghiệm.

0,25

Câu III

(1,0)

0,25

Đặt x-1=2cost dx=-2sintdt với

khi và thì đưa đến tích phân

0,25

0,5

CâuIV

(1,0)

(1,0)

Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC,BD, và I là trung điểm BC.

+ Kẽ B’K BC thì OK BC (Định lý 3 vuông góc), Thì K là trung điểm của BI

+ Với Tam giác vuông BB’K có

0,25

+ Vậy diện tích mặt bên BB’C’C là

+ Hoàn toàn tương tự diện tích các mặt đều bằng nhau nên

0,25

+ Do BDC là tam giác đều cạnh a nên .

+ Và

0,25

0,25

Câu V

(1,0)

(1,0)

Ta nhận thấy và

tức P=0 khi và chỉ khi hệ phương trình trên có nghiệm

có

0,25

thì hệ có duy nhất nghiệm tức P=0 xảy ra.

0,25

thì hệ sẽ là vô nghiệm nên minP>0.

Đặt t=x-2y thì ta có Vậy min khi

Kết luận min khi m=4 hay minP=0 khi

0,5

Câu

VI.a

(2,0)

(1,0)

+ Giả sử có điểm thì hay (2) vô nghiệm m

0,25

+ Nếu a=0 thì (2) sẽ là (2b-1)m+1=0 vô nghiệm khi tức

0,25

+ Nếu thì (2) vô nghiệm khi và chỉ khi vậy những điểm nằm trong đường tròn cố định tâm bán kính thì (d) không qua

0,25

Kết hợp cả 2 ta có đường thẳng (d) không đi qua những điểm nằm trong đường tròn tâm bán kính .

0,25

(1,0)

Mặt phẳng chứa đường thẳng (d) có phương trình là

(với )

0,25

Để mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu thì

0,25

0,25

+ Khi chọn m=1 được phương trình x-y-1=0,

+ Khi thì chọn được phương trình 8x-3y-5z+7=0

0,25

Câu

VII.a

(1,0)

Chứng minh rằng với .

Biến đổi vế phải ta được

vì vậy phải chứng minh

0,5

Mà

Chọn k lần lượt từ 1,2,…,n rồi nhân các bất đẳng thức vế theo vế ta được đpcm.

0,5

Câu

VI.b

(2,0)

(1,0)

Ta thấy đường tròn có tâm I(m²;2m) và bán kính

0,25

Vậy bán kính R bằng hoành độ tâm I nên tiếp xúc với trục Oy tại H.

0,25

Ta có quỹ tích tâm I của đường tròn là parabol (P): y²=4x có tiêu điểm F(1;0) và đường chuẩn (D): x+1=0

+ IH vuông góc với đường chuẩn (D) tại K

+ IF cắt tại J

+ Ta có IF=IK và IJ=IH nên IF-IJ=IK-IH tức FJ=HK=1

+ Vậy J nằm trên trên đường tròn (L) cố định tâm F bán kính FJ=1 và tiếp xúc với (L)

0,5

(1,0)

Mặt phẳng (P) chứa đường (d) nên có phương trình m(x+y+1)+n(2y-z+4)=0 với m²+n²>0; và trục Oy có vectơ chỉ phương

0,25

+ Nếu m=0 thì mặt phẳng (P):2y-z+4=0 thì góc có

+ Nếu thì có thể giả sử m=1 thì (P): x+(1+2n)y-nz+1+4n=0

0,25

Nhận xét lớn nhất khi và chỉ khi sinlớn nhất

0,25

và

Vậy sin lớn nhất khi n=2 do đó mặt phẳng (P): x+5y-2z+9=0

0,25

Câu

VII.b

(1,0)

(1,0)

Đặt thì bất phương trình là

0,25

Vậy bất phương trình có ít nhất một nghiệm tức tồn tại ít nhất một giá trị t>0 sao cho đồ thị hàm nằm dưới đường thẳng y=m

0,25

Mà

(loại t=-3)

0,25

Lập bảng biến thiên ta thấy hàm nhận giá trị

Vì vậy để bất phương trình có ít nhất một nghiệm là

0,25