Tröôøng THPT chuyeân Löông Vaên Chaùnh

------------

ÑEÀ THI THÖÛ ÑAÏI HOÏC NAÊM 2009

Moân Toaùn

(Daønh cho caùc khoái A, B vaø V)

Thôøi gian laøm baøi: 180 phuùt

eeôff

Caâu

Ñaùp aùn

Ñieåm chi tieát

Ñieåm

1.1

·     TXÑ:

·     , : ñöôøng thaúng laø TCÑ
: ñöôøng thaúng laø TCN

0.25

1

·     , suy ra haøm soá taêng trong töøng khoaûng xaùc ñònh.

·     Baûng bieán thieân

0.25

·     Ñoà thò caét Ox taïi , caét Oy taïi vaø nhaän giao ñieåm hai tieäm caän laøm taâm ñoái xöùng.

0.25

·     Ñoà thò veõ ñuùng

0.25

1.2

Phöông trình cuûa ñöôïc vieát laïi: .

Ñeå thoaû ñeà baøi, tröôùc heát (d) vuoâng goùc vôùi hay

0.25

1

Khi ñoù phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm giöõa (d) vaø (C):

. (1)

Ñeå (d) caét (C) taïi hai ñieåm phaân bieät A, B (1) coù hai nghieäm phaân bieät b tuyø yù.

0.25

Goïi I laø trung ñieåm cuûa AB, ta coù

.

0.25

Vaäy ñeå thoaû yeâu caàu baøi toaùn

.

Vaäy khi , thì thoaû maõn yeâu caàu baøi toaùn.

0.25

2.1

Heä ñaõ cho töông ñöông vôùi .

0.25

1

Ñaët , () ta ñöôïc

0.5

Keát hôïp vôùi ñieàu kieän , heä ñaõ cho coù nghieäm duy nhaát .

0.25

2.2

Ñieàu kieän: . (1)

0.25

1

Vôùi ñieàu kieän treân phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi

(vôùi )

.

0.5

Keát hôïp ñieàu kieän (1), ta coù nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho laø .

0.25

3

Ñaët .

Khi ; .

0.25

1

Khi ñoù

0.25

0.25

0.25

4

Goïi O laø taâm hình thoi. Do ABCD laø hình thoi neân , keát hôïp vôùi laø goùc giöõa mp(A'BD) .

0.25

1

Do neân tam giaùc ABC ñeàu .

Trong tam giaùc vuoâng A'AO, ta coù .

Do ñoù theå tích cuûa hình hoäp: .

0.25

Theo chöùng minh treân ta coù .

Trong tam giaùc vuoâng , döïng ñöôøng cao AH, ta coù hay .

Do neân suy ra

(vì )

.

0.5

5

Ta coù .

Tröôøng hôïp : ta coù .

0.25

1

Tröôøng hôïp :

Ta coù (vì ).

Ñaët , khi thì .

Ñaët , .

0.25

Ta coù

.

Ta coù (vì )

.

Baûng bieán thieân

0.25

Keát hôïp hai tröôøng hôïp cuûa x, ta coù , .

0.25

6a.1

Caïnh AC laø ñöôøng thaúng qua A vaø vuoâng goùc vôùi BH neân coù phöông trình .

Ñænh C laø giao ñieåm cuûa AC vaø CD neân toaï ñoä cuûa C laø heä nghieäm cuûa heä phöông trình , suy ra .

0.5

1

Goïi (d) laø ñöôøng thaúng qua A vaø vuoâng goùc CD, phöông trình cuûa (d): .

Toaï ñoä giao ñieåm I cuûa (d) vaø CD laø nghieäm cuûa heä , suy ra .

Goïi A' laø ñieåm ñoái xöùng cuûa A qua CD, suy ra I laø trung ñieåm cuûa AA' neân .

Do CD laø ñöôøng phaân giaùc trong goùc C neân ñöôøng thaúng CB ñoái xöùng vôùi ñöôøng thaúng CA qua CD, suy ra CB laø ñöôøng thaúng qua C, A' hay nhaän laøm vectô chæ phöông neân coù phöông trình .

Ñænh B laø laø giao ñieåm cuûa BC vaø BH neân toaï ñoä cuûa B laø nghieäm cuûa heä phöông trình , suy ra .

0.5

6a.2

Ñöôøng thaúng (a) ñi qua vaø coù moät VTCP laø .

Maët caàu (S) coù taâm vaø coù baùn kính .

0.25

1

Ta coù . Ñaët , ta coù suy ra .

Ta coù neân ñöôøng thaúng (a) caét (S) taïi hai ñieåm A, B phaân bieät.

0.25

Do qua A, B vaø caét (S) theo moät giao tuyeán laø moät ñöôøng troøn lôùn neân chính laø maët phaúng qua (a) vaø taâm I cuûa (S).

0.25

Vaø do ñoù laø maët phaúng qua I, nhaän vaø laøn caëp VTCP neân nhaän laøm moät VTPT neân coù phöông trình laø:

hay .

0.25

7a

Soá caàn tìm coù daïng . Ñeå thaønh laäp moät soá theo yeâu caàu, ta thöïc hieän:

• Choïn ba trong naêm vò trí cuûa a, b, c, d, e ñeå xeáp vaøo ba chöõ soá 3, coù caùch choïn.
• Choïn hai chöõ soá trong boán chöõ soá coøn laïi vaø xeáp vaøo hai vò trí coøn laïi, coù caùch thöïc hieän.

Vaäy coù taát caû soá thoaû ñeà baøi.

0.5

1

Trong caùc soá noùi treân, soá chia heát cho 3 laø soá coù toång caùc chöõ soá chia heát cho 3, maø coù ba chöõ soá 3, neân hai chöõ soá coøn laïi coù toång chia heát cho 3, coù boán tröôøng hôïp thoaû maõn, ñoù laø: 1 vôùi 2, 1 vôùi 5, 2 vôùi 4, vaø 4 vôùi 5.

Vôùi caùc tröôøng hôïp ñoù, ñeå thaønh laäp soá chia heát cho 3, ta thöïc hieän:

• Choïn ba trong naêm vò trí ñeå xeáp vaøo ba chöõ soá 3, coù caùch choïn.
• Choïn hai chöõ soá coù toång chia heát cho 3 trong boán chöõ soá coøn laïi, coù 4 caùch choïn.
• Xeáp hai chöõ soá vöøa choïn vaøo hai vò trí coøn laïi, coù hai caùch xeáp.

Suy ra coù soá chia heát cho 3.

Vaäy xaùc suaát caàn tìm laø .

6b.1

Ta coù (C) coù taâm vaø baùn kính .

Giaû söû (C') coù taâm K vaø baùn kính R'. Do neân . Do (C') tieáp xuùc vôùi Oy neân .

Do (C') tieáp xuùc ngoaøi vôùi (C) neân hay . (1)

0.5

1

Tröôøng hôïp :

(1)

Tröôøng hôïp :

(1)

Vaäy taâm cuûa (C') laø hoaëc .

0.5

6b.2

Ta coù (a) ñi qua vaø coù moät VTCP laø .

Ta coù (b) ñi qua vaø cuõng nhaän laøm moät VTCP.

Ta coù khaùc phöông vôùi . Vaäy (a) vaø (b) song song nhau.

0.25

Khi ñoù ; maø suy ra

.

0.25

Ta coù coù caëp VTCP laø vaø neân nhaän laøm PVT.

Mp qua (a) neân nhaän laøm moät VTCP, vuoâng goùc vôùi neân nhaän laøm moät VTCP suy ra nhaän laøm moät PVT. Maët khaùc qua neân coù phöông trình laø hay .

0.5

7b

Ñaët (1)

Ta coù (2)

Töø (2), ta coù .

Suy ra

Do ñoù (3)

Maët khaùc, töø (1): suy ra hay . (4)

Töø (3) vaø (4), ta ñöôïc .

0.5

1

Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi .

Ta thaáy laø moät nghieäm cuûa phöông trình.

0.25

Ta thaáy khoâng thoaû phöông trình.

Xeùt haøm soá ()

Ta coù , .

Suy ra giaûm treân .

Vaäy laø nghieäm duy nhaát cuûa baøi toaùn.

0.25