Câu

Đáp án

Điểm

I

2,00

1

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1,00 điểm)

Tập xác định TXĐ:

Sự biến thiên

Hàm số đồng biến trên và

0,25

Bảng biến thiên

0,25

Tiệm cận: Tiệm cận đứng x = - 2; tiệm cận ngang y = 2

Đồ thị nhận giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng

0,25

Đồ thị:

0,25

2

Viết phương trình tiếp tuyến (1,00 điểm)

Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M có hoành độ thuộc đồ thị (C) có phương trình:

Tâm đối xứng . Ta có

0,25

0,25

lớn nhất khi

Từ đó suy ra có hai tiếp tuyến y = x và y = x + 8

0,50

II

2,00

1

Giải phương trình lượng giác (1,00 điểm)

Điều kiện

Để ý rằng

0,25

Khi đó PT (1) trở thành:

0,5

: Không thoả điều kiện (*).

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

0,25

2

Giải hệ phương trình (1,00 điểm)

Điều kiện:

Đặt .

HPT trở thành:

0,25

Thay (2) vào (1) ta được:

0,25

Nếu v = 3 thì u = 9, ta có HPT:

0,25

Nếu thì u = 7, ta có HPT:

So sánh điều kiện ta được 4 nghiệm của HPT.

0,25

III

Tính tích phân

1,00

Đặt

0,25

0,25

Với

đặt

0,25

Từ đó

0,25

IV

Tính thể tích hình chóp S.ABMN

1,00

Kẻ SO vuông góc với (ABCD) thì O là giao điểm của AC và BD.

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD; G là trọng tâm SAC

Góc giữa mặt bên (SCD) và đáy (ABCD) là

0,25

Vì SIJ đều cạnh a nên G cũng là trọng tâmSIJ

IG cắt SJ tại K là trung điểm của SJ; M, N là trung điểm của SC, SD

0,25

0,25

(đvtt)

0,25

V

Chứng minh bất đẳng thức

1,00

Vì nên

0,25

Chứng minh tương tự :

Cộng các BĐT (1), (2), (3) vế theo vế :

0,25

Sử dụng BĐT (4) và BĐT Cauchy ta có :

0,25

Cũng theo BĐT Cauchy ta được :

Do đó (đpcm)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.

0,25

VI.a

2,00

1

Tìm tọa độ điểm B và điểm C (1,00 điểm)

Gọi I là trung điểm của BC. Ta có

Đường thẳng BC qua I vuông góc với AH có PT : x – y – 3 = 0

Vì là trung điểm của BC.

Giả sử và

0,50

H là trực tâm của tam giác ABC nên

0,25

Vậy hoặc

0,25

2

Viết phương trình mặt cầu đối xứng(1,00 điểm)

, tâm và R = 5

Khoảng cách từ I đến

Vậy và mặt cầu (S) cắt nhau.

0,25

Gọi J là điểm đối xứng của I qua

PT đường thẳng IJ :

0,25

Toạ độ giao điểm H của IJ và thoả

Vì H là trung điểm của IJ nên

0,25

Mặt cầu (S’) có tâm J bán kính R’ = R = 5 nên có PT:

0,25

VII.a

Số cách chọn đội tuyển bóng bàn quốc gia

1,00

1.     Đội tuyển có Vũ Mạnh Cường, không có Ngô Thu Thuỷ

Số cách chọn 3 nam còn lại là

Số cách chọn 3 nữ không có Ngô Thu Thuỷ là

0,25

Suy ra số cách chọn trong trường hợp này là (cách)

0,25

2. Đội tuyển có Ngô Thu Thuỷ, không có Vũ Mạnh Cường

Số cách chọn 4 nam không có Vũ Mạnh Cường là

Số cách chọn 2 nữ còn lại là

0,25

Suy ra số cách chọn trong trường hợp này là (cách)

Vậy số cách chọn đội tuyển bóng bàn Quốc gia là

1680 + 540 = 2220 (cách)

ĐS: 2220 (cách)

0,25

VI.b

2,00

1

Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C (1,00 điểm)

Ta có AC vuông góc với BH và đi qua M(1; 1) nên có PT: y = x

Toạ độ đỉnh A là nghiệm của hệ :

Vì M là trung điểm của AC nên

0,50

Vì BC đi qua C và song song với d nên PT (BC) :

0,25

0,25

2

Tìm tọa độ đỉnh D (1,00 điểm)

Do ABCD là hình thang cân nên AD = BC = 3.

Gọi là đường thẳng qua C và song song với AB, (S) là mặt cầu tâm A bán kính R = 3. Điểm D cần tìm là giao điểm của và (S).

0,25

Đường thẳng có vectơ chỉ phương nên có phương trình:

Phương trình mặt cầu

0,25

Toạ độ điểm D thoả HPT:

0,25

Với t = – 1, thì D(4; – 3; 0) : không thoả vì AB = CD = 7

Với (nhận)

0,25

VII.b

Giải hệ phương trình

1,00

PT

0,25

Với x = 0 thay vào (1) :

0,25

Với thay y = 1 – 3x vào (1) ta được :

Đặt , vì nên

PT (3) :

0,25

Đối chiếu điều kiện ta chọn .

Khi đó

Vậy HPT đã cho có 2 nghiệm và

0,25