11. Tổng hợp các dao động điều hoà cùng phương cùng tần số.

* Các công thức:

+ Nếu: x₁ = A₁cos(wt + j₁) và x₂ = A₂cos(wt + j₂)  thì

x = x₁ + x₂ = Acos(wt + j) với A và j được xác định bởi:   

A² = A₁² + A₂² + 2 A₁A₂ cos (j₂ - j₁); tanj = .

+ Hai dao động cùng pha (j₂ - j₁ = 2kp): A = A₁ + A₂.

+ Hai dao động ngược pha (j₂ - j₁)= (2k + 1)p): A = |A₁ - A₂|.

+ Nếu độ lệch pha bất kỳ thì: |A₁ - A₂| £  A £ A₁ + A₂ .

+ Nếu biết một dao động thành phần x₁ = A₁cos(wt + j₁) và dao động tổng hợp x = Acos(wt + j) thì dao động thành phần còn lại là x₂ = A₂cos(wt + j₂) với A₂  vàj₂ được xác định bởi:

            A = A² + A - 2 AA₁ cos (j - j₁); tanj₂ = .

+ Trường hợp vật tham gia nhiều dao động điều hòa cùng phương cùng tần số thì ta có:   

    A_x = Acosj = A₁cosj₁ + A₂cosj₂ + A₃cosj₃  + …; A_y = Asinj = A₁sinj₁ + A₂sinj₂ + A₃sinj₃ + …

    Khi đó biên độ và pha ban đầu của dao động hợp là: A =  và tanj = .

* Phương pháp giải: Tùy theo từng bài toán và sở trường của từng người, ta có thể dùng giãn đồ véc tơ hoặc công thức lượng giác để giải các bài tập loại này.

Lưu ý: Nếu có một phương trình dao động thành phần dạng sin thì phải đổi phương trình này sang dạng cos rồi mới tính toán hoặc vẽ giãn đồ véc tơ.

* Bài tập minh họa:

1. Hai dao động điều hoà cùng phương cùng tần số f = 10 Hz, có biên độ lần lượt là 100 mm và 173 mm, dao động thứ hai trể pha  so với dao động thứ nhất. Biết pha ban đầu của dao động thứ nhất bằng . Viết các phương trình dao động thành phần và phương trình dao động tổng hợp.

2. Một vật tham gia đồng thời hai dao động: x = 3cos(5pt + ) (cm) và x=  3cos(5pt + ) (cm). Tìm phương trình dao động tổng hợp.

3. Chuyển động của một vật là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có các phương trình: (cm); x₂ = 3cos(10t +) (cm). Xác định vận tốc cực đại, gia tốc cực đại của vật.

4. Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương có biểu thức x = 5cos(6pt + ) (cm). Dao động thứ nhất có biểu thức là x₁ = 5cos(6pt + ) (cm). Tìm biểu thức của dao động  thứ hai.

5. Một vật khối lượng 200 g thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số với các phương trình: x₁ = 4cos(10t + )(cm) và x₂ = A₂cos(10t + p). Biết cơ năng của vật là 0,036 J. Xác định A₂.

6. Vật khối lượng 400 g tham gia đồng thời 2 dao động điều hòa cùng phương với các phương trình               x₁ = 3sin(5pt +) (cm); x₂ = 6cos(5pt +) (cm). Xác định cơ năng, vận tốc cực đại của vật.

7. Một vật có khối lượng 200 g tham gia đồng thời ba dao động điều hòa cùng phương với các phương trình: x₁ = 5cos5pt (cm);  x₂ = 3cos(5pt +) (cm) và x₃ = 8cos(5pt - ) (cm). Viết phương trình dao động tổng hợp của vật.

* Hướng dẫn giải và đáp số:

1. A = = 200 mm; tanj = = tan(-15⁰).

      Vậy: x = 200cos(20pt - ) (mm).

2. A = = 7,9 cm; tanj = = tan(41⁰).

      Vậy: x = 7,9cos(5pt + ) (cm).

3. Ta có: A = = 5 cm ð v_max = wA = 50 cm/s = 0,5 m/s;

a_max = wA = 500 cm/s² = 5 m/s².

4. Ta có: A₂ = = 5 cm; tanj₂ =  = tan.

      Vậy: x₂ = 5cos(6pt + )(cm).

5. Ta có: A == 0,06 m = 6 cm; A² = A+ A+ 2A₁A₂cos(j₂ - j₁) ðA- 4A₂ – 20 = 0 ð A₂ = 6,9 cm.

6. Ta có: x₁ = 3sin(5pt + ) (cm) = 3cos5pt (cm); A = = 5,2 cm.

Vậy: W = mw²A² = 0,1,33 J; v_max = wA = 81,7 cm/s.

7. Dựa vào giãn đồ véc tơ ta thấy: A = = 5cm;

=  = tan(-).    Vậy: x = x₂ + x₂ + x₃ = 5cos(5

t - ) (cm).