Bài 27  Cho đường tròn  (O) và một điểm A ở ngoài đường tròn  . Các tiếp tuyến với đường tròn  (O) kẻ từ A tiếp xúc với đường tròn  (O) tại B và C. Gọi M là điểm tuỳ ý trên đường tròn ( M khác B, C), từ M kẻ MH ^ BC, MK ^ CA, MI ^ AB. Chứng minh :

1.      Tứ giác ABOC nội tiếp.        2. ÐBAO = Ð BCO.        3. DMIH ~  DMHK.        4. MI.MK = MH².

Lời giải:  

1. (HS tự giải)
2. Tứ giác ABOC nội tiếp => ÐBAO = Ð BCO (nội tiếp cùng chắn cung BO).
3. Theo giả thiết MH ^ BC => ÐMHC = 90⁰; MK ^ CA => ÐMKC = 90⁰

=> ÐMHC + ÐMKC = 180⁰ mà đây là hai góc đối => tứ giác MHCK nội tiếp  => ÐHCM = ÐHKM (nội tiếp cùng chắn cung HM).

Chứng minh tương tự ta có tứ giác MHBI nội tiếp => ÐMHI = ÐMBI (nội tiếp cùng chắn cung IM).

Mà ÐHCM =  ÐMBI ( = 1/2 sđ ) => ÐHKM = ÐMHI (1). Chứng minh tương tự ta còng có

ÐKHM = ÐHIM (2).  Từ (1) và (2) => D HIM ~ D KHM.

4. Theo trên D HIM ~ D KHM => => MI.MK = MH²

Lưu ý kí hiệu Ð có nghĩa là góc.