Bài 32   Cho đường tròn  (O), đường kính AB = 2R. Một cát tuyến MN quay quanh trung điểm H của OB.

1.   Chứng minh khi  MN di động , trung điểm I của MN luôn nằm trên một đường tròn  cố định.

2.                                Từ A kẻ Ax ^ MN, tia BI cắt Ax tại C. Chứng minh tứ giác CMBN là hình bình hành.

3.                                Chứng minh C là trực tâm của tam giác  AMN.

4.   Khi MN quay quanh H thì C di động trên đường nào.

5.Cho AM. AN = 3R² , AN = R. Tính diện tích phần hình tròn (O) nằm ngoài tam giác  AMN.

Lời giải:  (HD)

1. I là trung điểm của MN => OI ^ MN tại I ( quan hệ đường kính và dây cung) = > ÐOIH = 90⁰ .

OH cố địmh nên khi MN di động thì I còng di động nhưng luôn nhìn OH cố định dưới một góc 90⁰ do đó I di động trên đường tròn  đường kính OH. Vậy khi  MN di động , trung điểm I của MN luôn nằm trên một đường tròn  cố định.

2. Theo giả thiết Ax ^ MN; theo trên OI ^ MN tại I => OI // Ax hay OI // AC mà O là trung điểm của AB => I là trung điểm của BC, lại có I là trung điểm của MN (gt) => CMBN là hình bình hành ( Vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường ).

3. CMBN là hình bình hành => MC // BN mà BN ^ AN ( vì ÐANB = 90⁰ do là góc  nội tiếp chắn nửa đường tròn  ) => MC ^ AN; theo trên AC ^ MN => C là trực tâm của tam giác  AMN.

4. Ta có H là trung điểm của OB; I là trung điểm của BC => IH là đường tung bình của DOBC => IH // OC Theo giả thiết Ax ^ MN hay IH ^ Ax => OC ^ Ax tại C => ÐOCA = 90⁰ => C thuộc đường tròn  đường kính OA cố định. Vậy khi MN quay quanh H thì C di động trên đường tròn  đường kính OA cố định.

5. Ta có AM. AN = 3R² , AN = R. => AM =AN = R=> DAMN cân tại A. (1)

Xét DABN vuông tại N ta có AB = 2R; AN = R => BN = R => ÐABN = 60⁰ .

ÐABN = ÐAMN (nội tiếp cùng chắn cung AN) => ÐAMN = 60⁰ (2).

Từ (1) và (2) => DAMN là tam giác  đều => S_DAMN = .

=> S = S_(O) - S_DAMN =  -  =

Lưu ý kí hiệu Ð có nghĩa là góc.