Bài 38  Cho hai đường tròn (O) ; (O') tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung ngoài, BÎ(O), CÎ (O'). Tiếp tuyến chung trong tại A cắ tiếp tuyến chung ngoài BC ở M. Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O'M và AC. Chứng minh :

1. Chứng minh các tứ giác OBMA, AMCO' nội tiếp .
2. Tứ giác AEMF là hình chữ nhật.
3. ME.MO = MF.MO'.
4. OO' là tiếp tuyến của đường tròn  đường kính BC.
5. BC là tiếp tuyến của đường tròn  đường kính OO'.

Lời giải:   

1. ( HS tự làm)

2. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có MA = MB

=>rMAB cân tại M. Lại có ME là tia phân giác => ME ^ AB (1).

Chứng minh tương tự ta còng có MF ^ AC (2).

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta còng có MO và MO' là tia phân giác của hai góc kề bù BMA và CMA => MO ^ MO' (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra tứ giác MEAF  là hình chữ nhật

      3.  Theo giả thiết AM là tiếp tuyến chung của hai đường tròn  => MA ^ OO'=>  DMAO vuông tại A có AE ^ MO ( theo trên ME ^ AB)  Þ MA² = ME. MO (4)

Tương tự ta có tam giác vuông MAO' có AF^MO'Þ MA² = MF.MO' (5)

Từ (4) và (5) Þ ME.MO = MF. MO'

     4.  Đường tròn đường kính BC có tâm là M vì theo trên MB = MC = MA, đường tròn này đi qua Avà co MA là bán kính . Theo trên OO' ^ MA tại A Þ OO' là tiếp tuyến tại A của đường tròn đường kính BC.

     5. (HD) Gọi I là trung điểm của OO' ta có IM là đường trung bình của hình thang BCO'O

=> IM^BC tại M (*) .Ta cung chứng minh được ÐOMO' vuông nên M thuộc đường tròn  đường kính OO' => IM là bán kính đường tròn  đường kính OO' (**)

Từ (*) và (**) => BC là tiếp tuyến của đường tròn  đường kính OO'

Lưu ý kí hiệu Ð có nghĩa là góc.