Bài 36   Cho tam giác  nhọn ABC , Kẻ các đường cao AD, BE, CF. Gọi H là trực tâm của tam giác. Gọi M, N, P, Q lần lượt là các hình chiếu vuông góc của D lên AB, BE, CF, AC. Chứng minh :

1.  Các tứ giác DMFP, DNEQ là hình chữ nhật.

2.  Các tứ giác BMND; DNHP; DPQC nội tiếp .

3. Hai tam giác  HNP và HCB đồng dạng.

4. Bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng.

Lời giải:   1. & 2. (HS tự làm)

3. Theo chứng minh trên DNHP nội tiếp => ÐN₂ = ÐD₄ (nội tiếp cùng chắn cung HP); DHDC có ÐHDC = 90⁰ (do AH là đường cao) D HDP có ÐHPD = 90⁰ (do DP ^ HC) => ÐC₁= ÐD₄ (cùng phụ với ÐDHC)=>ÐC₁=ÐN₂ (1) chứng minh tương tự ta có ÐB₁=ÐP₁ (2)

Từ (1) và (2) => DHNP ~ D HCB

4. Theo chứng minh trên DNMB nội tiếp => ÐN₁ = ÐD₁ (nội tiếp cùng chắn cung BM).(3)

DM // CF ( cùng vuông góc với AB) => ÐC₁= ÐD₁ ( hai góc đồng vị).(4)

Theo chứng minh trên ÐC₁ = ÐN₂ (5)

Từ (3), (4), (5) => ÐN₁ = ÐN₂ mà B, N, H thẳng hàng => M, N, P thẳng hàng. (6)

Chứng minh tương tự ta cung có N, P, Q thẳng hàng . (7)

                           Từ (6), (7) => Bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng

Lưu ý kí hiệu Ð có nghĩa là góc.