Bài 39  Cho đường tròn  (O) đường kính BC, dấy AD vuông góc với BC tại H. Gọi E, F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Gọi ( I ), (K) theo thứ tự là các đường tròn  ngoại tiếp tam giác  HBE, HCF.

1. Hãy xác định vị trí tương đối của các đường tròn (I) và (O); (K) và (O);  (I) và (K).

2. Tứ giác AEHF là hình gì? Vì sao?.
3. Chứng minh AE. AB = AF. AC.
4. Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn  (I) và (K).
5. Xác định vị trí của H để EF có độ dài lớn nhất.

Lời giải:   

1.(HD) OI = OB – IB => (I) tiếp xúc  (O)

       OK = OC – KC => (K) tiếp xúc (O)

      IK  = IH + KH => (I) tiếp xúc (K)

2. Ta có : ÐBEH = 90⁰ ( nội tiếp chắn nửa đường tròn )

=> ÐAEH = 90⁰ (vì là hai góc kề bù). (1)

ÐCFH = 90⁰ ( nội tiếp chắn nửa đường tròn )

=> ÐAFH = 90⁰ (vì là hai góc kề bù).(2)

ÐBAC = 90⁰ ( nội tiếp chắn nửa đường tròn  hay ÐEAF = 90⁰ (3)

Từ (1), (2), (3) => tứ giác AFHE là hình chữ nhật ( vì có ba góc vuông).

3. Theo giả thiết AD^BC tại H nên DAHB vuông tại H có HE ^ AB ( ÐBEH = 90⁰ ) => AH² = AE.AB (*)

Tam giác  AHC vuông tại H có HF ^ AC (theo trên ÐCFH = 90⁰ ) => AH² = AF.AC (**)

Từ (*) và (**) => AE. AB = AF. AC ( = AH²)

4. Theo chứng minh  trên tứ giác AFHE là hình chữ nhật, gọi G là giao điểm của hai đường chéo AH và EF ta có  GF = GH (tính chất đường chéo hình chữ nhật) => DGFH cân tại G => ÐF₁ = ÐH₁ .

DKFH cân tại K (vì có KF và KH cùng là bán kính) => ÐF₂ = ÐH₂.

=> ÐF₁ + ÐF₂ = ÐH₁ + ÐH₂ mà ÐH₁ + ÐH₂ = ÐAHC = 90⁰ => ÐF₁ + ÐF₂ = ÐKFE = 90⁰ => KF ^EF .

Chứng minh tương tự ta còng có IE ^ EF. Vậy EF là tiếp tuyến chung của hai  đường tròn  (I) và (K).

e) Theo chứng minh  trên tứ giác AFHE là hình chữ nhật => EF = AH £ OA (OA là bán kính đường tròn  (O) có độ dài không đổi) nên EF = OA <=> AH = OA <=> H trùng với O.

Vậy khi H trùng với O túc là dây AD vuông góc với BC tại O thì EF có độ dài lớn nhất.

Lưu ý kí hiệu Ð có nghĩa là góc.