Bài 43   Cho đường tròn  (O) đường kính AB, điểm M thuộc đường tròn . Vẽ điểm N đối xứng với A qua M,

BN cắt (O) tại C. Gọi E là giao điểm của AC và BM.

1.                     Chứng minh tứ giác MNCE nội tiếp .

2.                     Chứng minh NE ^ AB.

3.                     Gọi F là điểm đối xứng với E qua M. Chứng minh FA là tiếp tuyến của (O).

4.                     Chứng minh FN là tiếp tuyến của đường tròn  (B; BA).

Lời giải:   1. (HS tự làm)

2. (HD) Dễ thấy E là trực tâm của tam giác  NAB => NE ^ AB.

3.Theo giả thiết A và N đối xứng nhau qua M nên M là trung điểm của AN; F và E xứng nhau qua M nên M là trung điểm của EF => AENF là hình bình hành   => FA // NE mà NE ^ AB => FA ^ AB tại A => FA là tiếp tuyến của (O) tại A.

4. Theo trên  tứ giác AENF là hình bình hành => FN // AE hay FN // AC mà AC ^ BN => FN ^ BN tại N

DBAN có BM là đường cao đồng thời là đường trung tuyến ( do M là trung điểm của AN) nên DBAN cân tại B => BA = BN => BN là bán kính của đường tròn  (B; BA) => FN là tiếp tuyến tại N của (B; BA).