Bài 35   Cho đường tròn  (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = 2/3 AO. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I, gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại E.

1.                                Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp .

2.                                Chứng minh tam giác  AME đồng dạng với tam giác  ACM.

3.                               Chứng minh AM² = AE.AC.

4.                                Chứng minh AE. AC - AI.IB = AI² .

5.        Hãy xác định vị trí của C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn  ngoại tiếp tam giác  CME là nhỏ nhất.

Lời giải:  

1. Theo giả thiết MN ^AB tại I => ÐEIB = 90⁰;  Ð ACB nội tiếp chắn nửa đường tròn  nên ÐACB = 90⁰ hay ÐECB = 90⁰

=> ÐEIB + ÐECB = 180⁰ mà đây là hai góc đối của tứ giác IECB nên tứ giác IECB là tứ giác  nội tiếp .

2. Theo giả thiết MN ^AB => A là trung điểm của cung MN => ÐAMN = ÐACM ( hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) hay ÐAME = ÐACM. Lại thấy ÐCAM là góc chung của hai tam giác  AME và AMC do đó tam giác  AME đồng dạng với tam giác  ACM.

3. Theo trên DAME ~ D ACM =>  => AM² = AE.AC

4. ÐAMB = 90⁰ (nội tiếp chắn nửa đường tròn ); MN ^AB tại I => DAMB vuông tại M có MI là đường cao => MI² = AI.BI ( hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác  vuông) .

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác  AIM vuông tại I ta có AI² = AM² – MI² => AI² = AE.AC - AI.BI .

5. Theo trên ÐAMN = ÐACM => AM là tiếp tuyến của đường tròn  ngoại tiếp D ECM; Nối MB ta có ÐAMB = 90⁰ , do đó tâm O₁ của đường tròn  ngoại tiếp D ECM phải nằm trên BM. Ta thấy NO₁ nhỏ nhất khi NO₁ là khoảng cách từ N đến BM => NO₁ ^BM.

Gọi O₁ là chân đường vuông góc kẻ từ N đến BM ta được O₁ là tâm đường tròn  ngoại tiếp D ECM có bán kính là O₁M. Do đó để khoảng cách từ N đến tâm đường tròn  ngoại tiếp tam giác  CME là nhỏ nhất thì C phải là giao điểm của đường tròn  tâm O₁ bán kính O₁M với đường tròn  (O) trong đó O₁ là hình chiếu vuông góc của N trên BM.

Lưu ý kí hiệu: Ð có nghĩa là góc.