Bài 24.  Cho tam giác  nhọn ABC có ÐB = 45⁰ . Vẽ đường tròn  đường kính AC có tâm O, đường tròn  này cắt BA và BC tại D và E.

1.  Chứng minh AE = EB.

2. Gọi H là giao điểm của CD và AE, Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn HE đi qua trung điểm I của BH.

3.Chứng minh OD là tiếp tuyến của đường tròn  ngoại tiếp ∆  BDE.

Lời giải:  

1. ÐAEC = 90⁰ (nội tiếp chắn nửa đường tròn  )

=> ÐAEB = 90⁰ ( vì là hai góc kề bù); Theo giả thiết ÐABE = 45⁰

=> DAEB là tam giác  vuông cân tại E => EA = EB.

2. Gọi K là trung điểm của HE (1) ; I là trung điểm của HB => IK là đường trung bình của tam giác  HBE => IK // BE mà ÐAEC = 90⁰ nên BE ^ HE tại E => IK ^ HE tại K (2).

Từ (1) và (2) => IK là trung trực của HE . Vậy trung trực của đoạn HE đi qua trung điểm I của BH.

3. theo trên I thuộc trung trực của HE => IE = IH mà I là trung điểm của BH => IE = IB.

Ð ADC = 90⁰ (nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => ÐBDH = 90⁰ (kề bù ÐADC) => tam giác  BDH vuông tại D có DI là trung tuyến (do I là trung điểm của BH) => ID = 1/2 BH hay ID = IB => IE = IB = ID => I là tâm đường tròn  ngoại tiếp tam giác  BDE bán kính ID.

Ta có DODC cân tại O (vì OD và OC là bán kính ) => ÐD₁ = ÐC₁. (3)

          DIBD cân tại I (vì ID và IB là bán kính ) => ÐD₂ = ÐB₁ . (4)

Theo trên ta có CD và AE là hai đường cao của tam giác  ABC => H là trực tâm của tam giác  ABC => BH còng là đường cao của tam giác  ABC => BH ^ AC tại F => DAEB có ÐAFB = 90⁰ .

Theo trên  DADC có ÐADC = 90⁰ => ÐB₁ = ÐC₁ ( cùng phụ ÐBAC) (5).

Từ (3), (4), (5) =>ÐD₁ = ÐD₂ mà ÐD₂ +ÐIDH =ÐBDC = 90⁰=> ÐD₁ +ÐIDH = 90⁰ = ÐIDO => OD ^ ID tại D => OD là tiếp tuyến của đường tròn  ngoại tiếp tam giác  BDE.

Lưu ý kí hiệu Ð có nghĩa là góc.