Bài 21.  Cho đường tròn  (O) đường kính AB. Gọi I là trung điểm của OA . Vẽ đường tron tâm I đi qua A,  trên (I) lấy P  bất kì, AP cắt (O) tại Q.

1.Chứng minh rằng các đường tròn  (I) và (O) tiếp xúc  nhau tại A.

2. Chứng minh IP // OQ.

3. Chứng minh rằng AP = PQ.

4. Xác định vị trí của P để tam giác  AQB có diện tích lớn nhất.

Lời giải:  

1. Ta có OI = OA – IA mà OA và IA lần lượt là các bán kính của đ/ tròn  (O) và đường tròn  (I) . Vậy đ/ tròn  (O) và đường tròn  (I) tiếp xúc  nhau tại A .

2.  DOAQ cân tại O ( vì OA và OQ cùng là bán kính ) => ÐA₁ = ÐQ₁

     DIAP cân tại I ( vì IA và IP cùng là bán kính )  => ÐA₁ = ÐP₁

    => ÐP₁ = ÐQ₁ mà đây là hai góc đồng vị nên suy ra IP // OQ.

3. ÐAPO = 90⁰ (nội tiếp chắn nửa đường tròn  ) => OP ^ AQ => OP là đường cao của DOAQ mà DOAQ cân tại O nên OP là đường trung tuyến => AP = PQ.

4. (HD) Kẻ QH ^ AB ta có S_AQB = AB.QH. mà AB là đường kính không đổi nên S_AQB lớn nhất khi QH lớn nhất. QH lớn nhất khi Q trùng với trung điểm của cung AB. Để Q trùng với trung điểm của cung AB thì P phải là trung điểm của cung AO.

Thật vậy P là trung điểm của cung AO => PI ^ AO mà theo trên PI // QO => QO ^ AB tại O => Q là trung điểm của cung AB và khi đó H trung với O; OQ lớn nhất nên QH lớn nhất.

Lưu ý kí hiệu Ð có nghĩa là góc.