Bài 20.  Cho đường tròn  (O; R) và (O'; R') có R > R' tiếp xúc ngoài nhau tại C. Gọi AC và BC là hai đường kính đi qua điểm C của (O) và (O'). DE là dây cung của (O) vuông góc với AB tại trung điểm M của AB. Gọi giao điểm thứ hai của DC với (O') là F, BD cắt (O') tại G. Chứng minh rằng:

1.   Tứ giác MDGC nội tiếp .

2.   Bốn điểm M, D, B, F cùng nằm trên một đường tròn 

3.  Tứ giác ADBE là hình thoi.

4.  B, E, F thẳng hàng

5.  DF, EG, AB đồng quy.

6.  MF = 1/2 DE.

7.  MF là tiếp tuyến của (O').

Lời giải:  

1. ÐBGC = 90⁰ ( nội tiếp chắn nửa đường tròn )

=> ÐCGD = 90⁰ (vì là hai góc kề bù) 

 Theo giả thiết DE ^ AB tại M => ÐCMD = 90⁰

=> ÐCGD + ÐCMD = 180⁰ mà đây là hai góc đối của tứ giác MCGD nên MCGD là tứ giác nội tiếp

2.  ÐBFC = 90⁰ ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => ÐBFD = 90⁰; ÐBMD = 90⁰ (vì DE ^ AB tại M)  như vậy F và M cùng nhìn BD dưới một góc bằng 90⁰ nên F và M cùng nằm trên đường tròn  đường kính BD  => M, D, B, F cùng nằm trên một đường tròn .

3. Theo giả thiết M là trung điểm của AB; DE ^ AB tại M nên M còng là trung điểm của DE (quan hệ đường kính và dây cung)

=> Tứ giác ADBE là hình thoi vì có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường .

4. ÐADC = 90⁰ ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => AD ^ DF ; theo trên tứ giác ADBE là hình thoi

=> BE // AD mà AD ^ DF nên suy ra BE ^ DF .

Theo trên ÐBFC = 90⁰ ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => BF ^ DF mà qua B chỉ có một đường thẳng  vuông góc với DF do đo B, E, F thẳng hàng.

5. Theo trên DF ^ BE; BM ^ DE mà DF và BM cắt nhau tại C nên C là trực tâm của tam giác  BDE

=> EC còng là đường cao => EC^BD; theo trên CG^BD => E,C,G thẳng hàng. Vậy DF, EG, AB đồng quy

6. Theo trên DF ^ BE => DDEF vuông tại F có FM là trung tuyến (vì M là trung điểm của DE) suy ra

MF = 1/2 DE ( vì trong tam giác  vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền).

7. (HD) theo trên MF = 1/2 DE => MD = MF => DMDF cân tại M => ÐD₁ = ÐF₁

DO'BF cân tại O' ( vì O'B và O'F cùng là bán kính ) => ÐF₃ = ÐB₁ mà ÐB₁ = ÐD₁ (Cùng phụ với ÐDEB ) => ÐF₁ = ÐF₃ => ÐF₁ + ÐF₂ = ÐF₃ + ÐF₂ . Mà ÐF₃ + ÐF₂ = ÐBFC = 90⁰ => ÐF₁ + ÐF₂ = 90⁰ = ÐMFO' hay MF  ^ O'F tại F => MF là tiếp tuyến của (O').

Lưu ý kí hiệu: Ð có nghĩa là góc.