Bài 18  Cho đường tròn  (O) đường kính AB. Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H bất kì ( H không trùng O, B)  ; trên đường thẳng  vuông góc với OB tại H, lấy một điểm M ở ngoài đường tròn  ; MA và MB thứ tự cắt đường tròn  (O) tại C và D. Gọi I là giao điểm của AD và BC.

1.      Chứng minh MCID là tứ giác nội tiếp .

2.      Chứng minh các đường thẳng  AD, BC, MH đồng quy tại I.

3.      Gọi K là tâm đường tròn  ngoại tiếp tứ giác MCID, Chứng minh KCOH là tứ giác nội tiếp .

Lời giải:  

1. Ta có : ÐACB = 90⁰ ( nội tiếp chắn nửc đường tròn )

=> ÐMCI = 90⁰ (vì là hai góc kề bù).

ÐADB = 90⁰ ( nội tiếp chắn nửc đường tròn )

=> ÐMDI = 90⁰ (vì là hai góc kề bù).

=> ÐMCI + ÐMDI = 180⁰ mà đây là hai góc đối của tứ giác MCID nên MCID là tứ giác nội tiếp.

2. Theo trên Ta có BC ^ MA; AD ^ MB nên BC và AD là hai đường cao của tam giác  MAB mà BC và AD cắt nhau tại I nên I là trực tâm của tam giác  MAB. Theo giả thiết thì MH ^ AB nên MH còng là đường cao của tam giác  MAB => AD, BC, MH đồng quy tại I.

3.  DOAC cân tại O ( vì OA và OC là bán kính) => ÐA₁ = ÐC₄

DKCM cân tại K ( vì KC và KM là bán kính) => ÐM₁ = ÐC₁ .

Mà ÐA₁ + ÐM₁ = 90⁰ ( do tam giác  AHM vuông tại H) => ÐC₁ + ÐC₄ = 90⁰ => ÐC₃ + ÐC₂ = 90⁰ ( vì góc ACM là góc bẹt) hay ÐOCK = 90⁰ .

Xét tứ giác KCOH Ta có ÐOHK = 90⁰; ÐOCK = 90⁰ => ÐOHK + ÐOCK = 180⁰ mà ÐOHK và ÐOCK  là hai góc đối  nên KCOH là tứ giác nội tiếp.

Lưu ý kí hiệu: Ð có nghĩa là góc.