Bài 28  Cho tam giác  ABC nội tiếp (O). Gọi H là trực tâm của tam giác  ABC; E là điểm đối xứng của H qua BC; F là điểm đối xứng của H qua trung điểm I của BC.

1.                                Chứng minh tứ giác BHCF là hình bình hành.

2.                                E, F nằm trên đường tròn  (O).

3.                                Chứng minh tứ giác BCFE là hình thang cân.

4.                               Gọi G là giao điểm của AI và OH. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác  ABC.

Lời giải:  

1. Theo giả thiết F là điểm đối xứng của H qua trung điểm I của BC => I là trung điểm BC và HE => BHCF là hình bình hành vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường .

2. (HD) Tứ giác AB'HC' nội tiếp => ÐBAC + ÐB'HC' = 180⁰ mà

ÐBHC = ÐB'HC' (đối đỉnh) => ÐBAC + ÐBHC = 180⁰. Theo trên BHCF là hình bình hành => ÐBHC = ÐBFC => ÐBFC + ÐBAC = 180⁰

=> Tứ giác  ABFC nội tiếp => F thuộc (O).

* H và E đối xứng nhau qua BC => DBHC = DBEC (c.c.c) => ÐBHC = ÐBEC => Ð BEC + ÐBAC = 180⁰ => ABEC nội tiếp => E thuộc (O) .

3. Ta có H và E đối xứng nhau qua BC => BC ^ HE  (1) và  IH = IE mà I là trung điểm của của HF

=> EI = 1/2 HE => tam giác  HEF vuông tại E hay FE ^ HE (2)

Từ (1) và (2) => EF // BC => BEFC là hình thang. (3)

Theo trên E Î(O) => ÐCBE = ÐCAE ( nội tiếp cùng chắn cung CE) (4).

Theo trên F Î(O) và  ÐFEA =90⁰ => AF là đường kính của (O) =>  ÐACF = 90⁰ =>  ÐBCF =  ÐCAE

( vì cùng phụ ÐACB) (5).

Từ (4) và (5) => ÐBCF =  ÐCBE (6).

Từ (3) và (6) => tứ giác BEFC là hình thang cân.

4. Theo trên AF là đường kính của (O) => O là trung điểm của AF; BHCF là hình bình hành => I là trung điểm của HF => OI là đường trung bình của tam giác  AHF => OI = 1/ 2 AH.

Theo giả thiết I là trung điểm của BC => OI ^ BC ( Quan hệ đường kính và dây cung) => ÐOIG = ÐHAG (vì so le trong); lại có ÐOGI = Ð HGA (đối đỉnh) => DOGI ~ DHGA =>  mà  OI =  AH    

 => mà AI là trung tuyến của ∆ ABC (do I là trung điểm của BC) =>  G là trọng tâm của ∆ ABC.

Lưu ý kí hiệu Ð có nghĩa là góc.