Bài 23.  Cho tam giác  ABC vuông ở A. Dựng ở miền ngoài tam giác  ABC các hình vuông ABHK, ACDE.

1. Chứng minh ba điểm H, A, D thẳng hàng.
2. Đường thẳng  HD cắt đường tròn  ngoại tiếp tam giác  ABC tại F, chứng minh FBC là tam giác  vuông cân.
3. Cho biết ÐABC > 45⁰ ; gọi M là giao điểm của BF và ED, Chứng minh 5 điểm B, K, E, M, C cùng nằm trên một đường tròn.
4. Chứng minh MC là tiếp tuyến của đường tròn  ngoại tiếp tam giác  ABC.

Lời giải:  

1. Theo giả thiết ABHK là hình vuông => ÐBAH = 45⁰

Tứ giác AEDC là hình vuông => ÐCAD = 45⁰; tam giác  ABC vuông ở A => ÐBAC = 90⁰

=> ÐBAH + ÐBAC + ÐCAD = 45⁰ + 90⁰ + 45⁰ = 180⁰ => ba điểm H, A, D thẳng hàng.

2. Ta có ÐBFC = 90⁰ (nội tiếp chắn nửa đường tròn  ) nên tam giác  BFC vuông tại F. (1).

ÐFBC = ÐFAC ( nội tiếp cùng chắn cung FC) mà theo trên ÐCAD = 45⁰ hay ÐFAC = 45⁰ (2).

Từ (1) và (2) suy ra DFBC là tam giác  vuông cân tại F.

3. Theo trên  ÐBFC = 90⁰ => ÐCFM = 90⁰ ( vì là hai góc kề bù); ÐCDM = 90⁰ (t/c hình vuông).

=> ÐCFM + ÐCDM = 180⁰ mà đây là hai góc đối nên tứ giác CDMF nội tiếp một đường tròn  suy ra ÐCDF =  ÐCMF , mà ÐCDF =  45⁰ (vì AEDC là hình vuông) => ÐCMF =  45⁰ hay ÐCMB = 45⁰.

Ta còng có ÐCEB =  45⁰ (vì AEDC là hình vuông); ÐBKC =  45⁰ (vì ABHK là hình vuông).

Như vậy K, E, M cùng nhìn BC dưới một góc bằng 45⁰  nên cùng nằm trên cung chứa góc 45⁰  dựng trên BC => 5 điểm B, K, E, M, C cùng nằm trên một đường tròn.

5.      DCBM có ÐB = 45⁰ ; ÐM = 45⁰ => ÐBCM =45⁰ hay MC ^ BC tại C => MC là tiếp tuyến của đường tròn  ngoại tiếp tam giác  ABC.

Lưu ý kí hiệu Ð có nghĩa là góc.