Bài 17. Cho tam giác đều ABC có đường cao là AH. Trên cạnh BC lấy điểm M bất kì ( M không trùng B. C, H ) ; từ M kẻ MP, MQ vuông góc với các cạnh AB. AC.

1. Chứng minh APMQ là tứ giác nội tiếp và hãy xác định tâm O của đường tròn  ngoại tiếp tứ giác đó.

2.   Chứng minh rằng MP + MQ = AH.

3. Chứng minh OH ^ PQ.

Lời giải:  

1. Ta có MP ^ AB (gt) => ÐAPM = 90⁰; MQ ^ AC (gt)

=> ÐAQM = 90⁰ như vậy P và Q cùng nhìn BC dưới một góc bằng 90⁰ nên P và Q cùng nằm trên đường tròn  đường kính AM => APMQ là tứ giác nội tiếp.

* Vì AM là đường kính của đường tròn  ngoại tiếp tứ giác APMQ tâm O của đường tròn  ngoại tiếp tứ giác APMQ là trung điểm của AM.

2. Tam giác  ABC có AH là đường cao => S_ABC = BC.AH.

Tam giác  ABM có MP là đường cao => S_ABM = AB.MP

Tam giác  ACM có MQ là đường cao => S_ACM = AC.MQ

Ta có S_ABM + S_ACM = S_ABC => AB.MP + AC.MQ = BC.AH => AB.MP + AC.MQ = BC.AH

Mà AB = BC = CA (vì  tam giác  ABC đều) => MP + MQ = AH.

4.      Tam giác  ABC có AH là đường cao nên còng là đường phân giác => ÐHAP = ÐHAQ =>  ( tính chất góc nội tiếp ) => ÐHOP = ÐHOQ (t/c góc ở tâm) => OH là tia phân giác góc POQ. Mà tam giác  POQ cân tại O ( vì OP và OQ cùng là bán kính) nên suy ra OH còng là đường cao => OH ^ PQ

Luu ý kí hiệu Ð có nghĩa là góc.