Hình vẽ:

GIẢI:

a.    Ta có:

Xét tam giác ABC, có đường trung tuyến AM:

AM=BM=CM (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông)

Suy ra: tam giác AMC cân tại M.

ð

Lại có:

 (cùng phụ góc  )

Do đó:  (, tuy khác tên nhưng cùng chỉ 1 góc)

b.   Xét tứ giác ADHE. Ta có:

 (giả thuyết)

Suy ra: ADHE là hình chữ nhật.

ð IA=IE (hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm)

Vì vậy tam giác AIE cân tại I.

Nên:

Mà:

Do đó:

Lại có: (cùng phụ góc )

Vậy:

Xét tam giác ABC, ta có:

 (tam giác ABC vuông tại A)

ð   ( ,  chứng minh trên)

ð  (tổng 3 góc của 1 tam giác là 180^o )

Kết luận:  

c.    Câu này thầy hướng dẫn, em tự bấm máy:

AH²=BH.CH => tính được AH.

AC²=HC.BC  => tính được AC.

AH=AE,AC =>tính được AE

Tam giác AKE đồng dạng với tam giác CAB (góc chứng minh ở trên, lấy xuống ghi vào)

Lập tỉ lệ rồi tính AK.