Bài 16  Cho tam giác  ABC vuông ở A.và một điểm D nằm giữa A và B. Đường tròn  đường kính BD cắt BC tại E. Các đường thẳng  CD, AE lần lượt cắt đường tròn  tại F, G.

Chứng minh :

1.                                Tam giác  ABC đồng dạng với tam giác  EBD.

2.                                Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp .

3.     AC // FG.

4.        Các đường thẳng  AC, DE, FB đồng quy.

Lời giải:  

1. Xét hai tam giác  ABC và EDB Ta có ÐBAC = 90⁰ ( vì tam giác  ABC vuông tại A); ÐDEB = 90⁰ ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )

=> ÐDEB = ÐBAC = 90⁰ ; lại có ÐABC là góc chung => DDEB ~ D CAB .

2.  Theo trên ÐDEB = 90⁰ => ÐDEC = 90⁰ (vì hai góc kề bù); ÐBAC = 90⁰ ( vì DABC vuông tại A) hay ÐDAC = 90⁰ => ÐDEC + ÐDAC = 180⁰ mà đây là hai góc đối nên ADEC là tứ giác nội tiếp .

      *  ÐBAC = 90⁰ ( vì tam giác  ABC vuông tại A); ÐDFB = 90⁰ ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) hay ÐBFC = 90⁰  như vậy F và A cùng nhìn BC dưới một góc bằng 90⁰ nên A và F cùng nằm trên đường tròn  đường kính BC => AFBC là tứ giác nội tiếp.

3. Theo trên ADEC là tứ giác nội tiếp => ÐE₁ = ÐC₁ lại có ÐE₁ = ÐF₁ => ÐF₁ = ÐC₁ mà đây là hai góc so le trong nên suy ra AC // FG.

4. (HD) Dễ thấy CA, DE, BF là ba đường cao của tam giác  DBC nên CA, DE, BF đồng quy tại S.

Lưu ý kí hiệu: Ð có nghĩa là góc.