4. CÂN BẰNG PHÓNG XẠ

4.1. Khái niệm về cân bằng phóng xạ

Khái niệm cân bằng phóng xạ về thực chất không đồng nhất với khái niệm cân bằng hoá học. Để hiểu rõ khái niệm này chúng ta khảo sát trường hợp quan trọng và thường gặp trong hoá phóng xạ, ở đó một đồng vị mẹ phân rã thành đồng vị con, rồi đồng vị con này lại phân rã tiếp tục. Những biến đổi như vậy được biểu diễn bằng sơ đồ:

                   Nuclit 1® Nuclit 2®Nuclit 3  (2.21)

Tốc độ tích luỹ nuclit con (2) là hiệu giữa tốc độ hình thành đồng vị này do sự phân rã của nuclit mẹ (1) và tốc độ phân rã của con:

dN₂/dt = -dN₁/dt - l₂N₂ = l₁N₁- l₂N₂     (2.22)

Thay vào (2.22) biểu thức của N₁ rút ra từ (2.2) ta có:

dN₂/dt + l₂N₂ - l₁N₁⁰e^-l1t = 0            (2.23)

Giải phương trình vi phân tuyến tính (2.23) (xem phụ lục 1) người ta thu được:

Giả định rằng ở thời điểm t=0 nuclit con đã được tách hoàn toàn khỏi nuclit mẹ, tức là N₂⁰=0 thì (2.24) trở thành:

Rút ra:

hay:

 

 Từ (2.27) đễ dàng nhận thấy rằng trong trường hợp l₂>l₁ sau một thời gian t đủ lớn có thể chấp nhận :

                                  (2.28)

và (2.27) trở thành:

Nghĩa là:

 

Trạng thái ở đó tỷ số nồng độ nuclit mẹ và nuclit con trung gian không thay đổi theo thời gian gọi trạng thái cân bằng phóng xạ. Sự khác nhau căn bản giữa cân bằng phóng xạ với cân bằng hoá học nằm ở chỗ cân bằng phóng xạ không phải là trạng thái của một quá trình thuận nghịch.

Từ điều kiện để có các biểu thức (2.29) và (2.30) có thể đưa ra 4 trường hợp sau đây:

(1) l₂>>l₁ cũng có nghĩa là thời gian bán huỷ của nuclit mẹ t_1/2(1)  rất lớn so với thời gian bán huỷ của nuclit con t_1/2(2), hệ sẽ nhanh chóng đạt được cân bằng phóng xạ. Đây là trường hợp cân bằng thế kỷ.

(2) l₂>l₁ nghĩa là thời gian bán huỷ của nuclit mẹ t_1/2(1)  tuy lớn so với thời gian bán huỷ của nuclit con t_1/2(2) nhưng tốc độ phân rã của mẹ cũng không thể bỏ qua. Đó là trường hợp cân bằng tạm thời.

(3) l₂<l₁ nghĩa là thời gian bán huỷ của nuclit mẹ t_1/2(1)  nhỏ hơn so với thời gian bán huỷ của nuclit con t_1/2(2), khi ấy không thể rút gọn (2.27) thành (2.29) và (2.30), hệ không thể đi đến trạng thái cân bằng phóng xạ.

(4)  Và cuối cùng là trường hợp l₂»l₁ nghĩa là t_1/2(1) » t_1/2(2).

Sau đây, từng trường hợp nói trên sẽ được mô tả chi tiết hơn.

 

 

 

 

4.2. Cân bằng phóng xạ thế kỷ

Khi t_1/2(2) <<t_1/2(1) tức là l₂>>l₁ có thể chấp nhận l₂-l₁» l₂ và phương trình (2.27) trở thành:

N₂/ N₁ = l₁/ l₂  = t_1/2(2)/ t_1/2(1)  .                   (2.32)

Từ (2.32)  rút ra:

l₂ N₂ = l₁ N₁                                              (2.33)

hay:

A₂ =A₁                                                                 (2.34)

ở đây A₂ = l₂ N₂;  A₁ = l₁ N₁ là hoạt độ phóng xạ .

Như thế khi đạt đến cân bằng phóng xạ, tỷ số giữa số nguyên tử của nuclit con và mẹ luôn luôn là hằng số và hoạt độ phóng xạ của mẹ và con luôn luôn bằng nhau. Cân bằng phóng xạ như vậy được gọi là cân bằng thế kỷ.

Vì l₁<<l₂, nghĩa là sự phân rã của nuclit mẹ có tốc độ rất nhỏ, trong một khoảng thời gian nhất định có thể xem số nguyên tử của nuclit mẹ là không thay đổi:

                   N₁ = N₁⁰ = const.                                        (2.35)

Suy ra:

                   N₂ = N₁l₁/ l₂ = N₁⁰l₁/ l₂   = const.            (2.36)

Như vậy, khi đạt đến cân bằng phóng xạ, trong một khoảng thời gian nhất định có thể xem số nguyên tử của nuclit mẹ, số nguyên tử của nuclit con, hoạt độ phóng xạ của mẹ và con là không thay đổi.

Các phương trình (2.32) và (2.34) có nhiều ứng dụng thực tế rất quan trọng bởi vì nó không chỉ đúng cho các nuclit con trực tiếp mà cho các nuclit con cháu bất kỳ của một dãy phóng xạ, nếu các điều kiện để có cân bằng phóng xạ được thoả mãn.

(1). Tính thời gian bán huỷ của các nuclit có thời gian bán huỷ quá dài, khi mà việc xác định thời gian bán huỷ gặp khó khăn do sự thay đổi hoạt độ phóng xạ không thể đo được bằng thực nghiệm.

 

(2). Tính hàm lượng của các nuclit nằm trong cân bằng phóng xạ của một dãy.

trong đó M₁, M₂ là nguyên tử lượng.

 (3).ứng dụng trong phân tích, chẳng hạn xác định  hàm lượng đồng vị mẹ trong khoáng vật thông qua đo hoạt độ phóng xạ của nuclit con. Để xác định hàm lượng urani trong quặng người ta có thể tiến hành đo hoạt độ của Th-234 hoặc Pa-234m (Pa là kí hiệu của nguyên tố protactini).

Hàm lượng rađi trong mẫu có thể được xác định với độ nhạy rất cao nhờ đo rađon nằm ở cân bằng phóng xạ với rađi.

Công thức tính khối lượng của nuclit mẹ từ hoạt độ phóng xạ của nuclit con có thể rút ra trực tiếp từ các phương trình (2.10) và (2.34):

4.3. Cân bằng phóng xạ tạm thời

Cân bằng phóng xạ tạm thời xảy ra khi l₂>l₁ nghĩa là thời gian bán huỷ của nuclit mẹ t_1/2(1)  tuy lớn so với thời gian bán huỷ của nuclit con t_1/2(2) nhưng tốc độ phân rã của mẹ cũng không thể bỏ qua.

Để tiện lập luận chúng ta nhắc lại với giả thiết tại t=0 nuclit con được tách hoàn toàn khỏi nuclit mẹ, tức là N₂⁰ = 0 và trở lại với phương trình (2.27)

Khi t là đủ lớn, trong thực tế thường lấy ,

e^{-(l2 -l1)t} trở thành đủ nhỏ so với 1, ta có:

                                   

và rút ra:

Như vậy tỷ số giữa số nguyên tử (cũng là tỷ số khối lượng) của hai nuclit mẹ và con trở thành hằng số, không thay đổi theo thời gian, hệ đã đạt được cân bằng phóng xạ.

Dựa vào định nghĩa hoạt độ phóng xạ cho bởi phương trình (2.10) và phương trình (2.41) dễ dàng tìm thấy:

Có thể thấy rằng khác nhau cơ bản của cân bằng tạm thời với cân bằng thế kỷ là ở chỗ khi đạt đến cân bằng tạm thời hoạt độ của nuclit mẹ luôn nhỏ hơn hoạt độ phóng xạ của nuclit con, trong khi ở cân bằng thế kỷ hai hoạt độ phóng xạ này luôn luôn bằng nhau.

Các biểu thức rút ra được từ việc nghiên cứu trạng thái cân bằng phóng xạ tạm thời cũng có các ứng dụng tương tự như trường hợp cân bằng thế kỷ, sự khác nhau chỉ ở dạng cụ thể của các phương trình tính toán mà thôi. Thay cho các phương trình (2.37), (2.38), (2.39), ở đây ta có:

Hình 2.2.( L5.9) Sự phụ thuộc thời gian của hoạt độ phóng xạ tổng cộng và hoạt độ phóng xạ riêng rẽ của các nuclit trong cân bằng thế kỷ.

 

 

 

 

Hình 2.3.(L5.10) Sự phụ thuộc thời gian của hoạt độ phóng xạ tổng cộng và hoạt độ phóng xạ riêng rẽ của các nuclit trong cân bằng tạm thời.

Hình 2.2 và 2.3 cho thấy rõ sự khác nhau căn bản của cân bằng thế kỷ và cân bằng tạm thời. Khi đạt đến cân bằng thế kỷ hoạt độ phóng xạ của các đồng vị mẹ và con luôn luôn bằng nhau và không thay đổi. Trong trường hợp của cân bằng tạm thời, đường biến thiên hoạt độ A₁ chỉ cắt A₂ tại 1 điểm A_2max , còn khi đạt tới cân bằng, các hoạt độ này không bằng nhau và luôn luôn giảm. (Chú ý: Trục tung của các đồ thị được chia theo thang logarit)

4.4. Phân rã nối tiếp trong trường hợp tổng quát

Đối với trường hợp một dãy phóng xạ có n nuclit, phân rã theo sơ đồ tổng quát sau:

          Nuclit 1® Nuclit 2® Nuclit 3® Nuclit 4...® Nuclit n   (2.55).

Nếu thời gian bán huỷ của nuclit mẹ là rất lớn hơn so với các nuclit con cháu, tức là:

                             l₁ << l₂, l₃, ..., l_n ,

Có  thể chứng minh được các  các phương trình đã đưa ra trong mục 4.2. khi nghiên cứu cân bằng thế kỷ:

và:

A_n = A₁               (2.68)

Như thế các phương trình (2.32) và (2.34) về trạng thái cân bằng thế kỷ không chỉ áp dụng cho nuclit con trực tiếp mà cho bất kỳ con cháu nào của họ phóng xạ bao gồm các phân rã nối tiếp nhau. Các ứng dụng trình bày trong mục 4.3. cũng đúng cho các con cháu không trực tiếp này.

2.5. Động học của phân rã rẽ nhánh

Phân rã rẽ nhánh là sự phân rã phóng xạ diễn ra theo sơ đồ nguyên tắc dưới đây:

l_ab là tốc độ phân rã của nuclit A theo hướng tạo thành nuclit B; l_ac là tốc độ phân rã theo hướng tạo thành C; l_B; l_C là các hắng số tốc độ phân rã  của các nuclit B và C. Tốc độ phân rã của A bằng tổng các tốc độ phân rã theo các hướng tạo thành B và C:

-dN_A/dt = l_ab N_A  + l_ac N_A =  (l_ab + l_ac)N_A  = l_AN_A            (2.70)

Sự tích phân phương trình vi phân (2.70) cho ta:

                   N_A = N_A⁰e^{-(lab + lac)t}                                                (2.71)

A có thể phân rã theo nhiều nhánh khác nhau với các tốc độ riêng rẽ khác nhau, nhưng A chỉ có một thời gian bán huỷ t_1/2(A):

Tốc độ tích luỹ của nuclit B và C bằng hiệu số giữa tốc độ hình thành (do sự phân rã của A) với tốc độ phân rã của chúng:

Với nuclit C ta cũng có phương trình tương tự:

Thay (2,71) vào (2.74) ta được phương trình :

Sự tích phân phương trình vi phân (2.75) với các điều kiện đầu N_B = 0 khi t=0 cho ta:

Phương trình (2.76) có dạng hoàn toàn tương tự với phương trình (2.25) của trường hợp phân rã không rẽ nhánh đã khảo sát ở mục 2.3.4.

Với nuclit C ta cũng có phương trình tương tự.

Khi nuclit mẹ có đời sống dài hơn nhiều so với nuclit con, tức là khi

l_ab + l_ac = l_A << l_B , phương trình (2.76) có thể rút gọn thành:

                             

Sau một thờigian t đủ lớn, e^-lBt << 1, từ (2.77) rút ra:

N_B/N_A =  l_ab/l_B = const .                                     (2.78)

Tương tự như vậy, đối với nuclit C ta cũng có:

                   N_C/N_A =  l_ac/l_C = const .                                               (2.79)

(2.78), (2.79) cho thấy rằng hệ đã đạt đến cân bằng phóng xạ.

Nuclit A chỉ có một thời gian bán huỷ t_1/2(A). Tuy nhiên, một cách hình thức, ta có thể đưa ra khái niệm thời gian bán huỷ riêng phần t_1/2(A)_B và t_1/2(A)_C được định nghĩa như sau:

t_1/2(A)_B = ln2/l_ab  và t_1/2(A)_C  = ln2/l_ac         .                  (2.80)

 Khi ấy, (2.78) và (2.79) có thể viết lại như sau:

N_B/N_A =  l_ab/l_B = t_1/2(B) / t_1/2(A)_B = const            (2.81)

và      N_C/N_A =  l_ac/l_C = t_1/2(C) / t_1/2(A)_C= const .               (2.82)

Trong trường hợp nuclit con là đồng vị bền hoặc có thời gian sống lâu hơn nuclit mẹ, nghĩa là l_ab + l_ac = l_A >> l_B  và l_ab + l_ac = l_A >> l_C , phương trình (2.76) có thể rút gọn thành:

hoặc tương tự, đối với nuclit C:

 Chia 2 vế của (2.83) cho (2.84) ta có:

N_B/N_C = l_ab/l_ac                                 (2.85)

ở t << t_1/2(A) có thể khai triển e^{(lab + lac)t} thành một chuỗi:

e^{(lab + lac)t} = 1+(l_ab + l_ac)t                                (2.86)

và từ (2.83)  và (2.84) người ta thu được:

N_B/N_A=l_abt  và N_C/N_A=l_act                         (2.87)

 

NHỮNG CÔNG THỨC CẦN GHI NHỚ

1. Quan hệ giữa hằng số tốc độ phân rã và thời gian bán huỷ

                             t_1/2=ln2/l=0.69315/l    (2.4)

hoặc:

                             l=ln2/ t_1/2  .      (2.5)

2, Số hạt nhân còn lại sau thời gian t:

                          N=N_oe^-lt

                            N=N_o(1/2)^{t/ t1/2}  .    (2.6)

3. Định nghĩa hoạt độ phóng xạ

A=-dN/dt=lN.     (2.10)

4. Sự thay đổi hoạt độ phóng xạ theo thời gian:

A=A₀.e^-lt=A₀(1/2)^t/t1/2,              (2.11)

trong đó A₀ là hoạt độ phóng xạ ban đầu.

 5. Cân bằng phóng xạ (l₁<<l₂)

N₂/ N₁ = l₁/ l₂  = t_1/2(2)/ t_1/2(1)  .                   (2.32)

Từ (2.32)  rút ra:

l₂ N₂ = l₁ N₁                                              (2.33)

hay:

A₂ =A₁                                                        (2.34)

ở đây A₂ = l₂ N₂;  A₁ = l₁ N₁ là hoạt độ phóng xạ .

Như thế khi đạt đến cân bằng phóng xạ, tỷ số giữa số nguyên tử của nuclit con và mẹ luôn luôn là hằng số và hoạt độ phóng xạ của mẹ và con luôn luôn bằng nhau. Cân bằng phóng xạ như vậy được gọi là cân bằng thế kỷ.

Vì l₁<<l₂, nghĩa là sự phân rã của nuclit mẹ có tốc độ rất nhỏ, trong một khoảng thời gian nhất định có thể xem số nguyên tử của nuclit mẹ là không thay đổi:

                   N₁ = N₁⁰ = const.                                        (2.35)

Suy ra:

                   N₂ = N₁l₁/ l₂ = N₁⁰l₁/ l₂   = const.            (2.36)

Như vậy, khi đạt đến cân bằng phóng xạ, trong một khoảng thời gian nhất định có thể xem số nguyên tử của nuclit mẹ, số nguyên tử của nuclit con, hoạt độ phóng xạ của mẹ và con là không thay đổi.

Đối với con cháu đời thứ n:

và:

A_n = A₁               (2.68)

Như thế các phương trình (2.32) và (2.34) về trạng thái cân bằng thế kỷ không chỉ áp dụng cho nuclit con trực tiếp mà cho bất kỳ con cháu nào của họ phóng xạ bao gồm các phân rã nối tiếp nhau.