Bài 15  Cho tam giác  ABC vuông ở A. Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đường tròn  (O) có đường kính MC. đường thẳng  BM cắt đường tròn  (O) tại D. đường thẳng  AD cắt đường tròn  (O) tại S.

1. Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp .
2. Chứng minh CA là tia phân giác của góc SCB.
3. Gọi E là giao điểm của BC với đường tròn  (O). Chứng minh rằng các đường thẳng  BA, EM, CD đồng quy.
4. Chứng minh DM là tia phân giác của góc ADE.
5. Chứng minh điểm M là tâm đường tròn  nội tiếp tam giác  ADE.

Lời giải:  

1.      Ta có ÐCAB = 90⁰ ( vì tam giác  ABC vuông tại A); ÐMDC = 90⁰ ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => ÐCDB = 90⁰ như vậy D và A cùng nhìn BC dưới một góc bằng 90⁰ nên A và D cùng nằm trên đường tròn  đường kính BC => ABCD là tứ giác nội tiếp.

2.      ABCD là tứ giác nội tiếp => ÐD₁= ÐC₃( nội tiếp cùng chắn cung AB).

ÐD₁= ÐC₃ => => ÐC₂ = ÐC₃ (hai góc nội tiếp đường tròn  (O) chắn hai cung bằng nhau)

=> CA là tia phân giác của góc SCB.

3. Xét DCMB Ta có BA^CM; CD ^ BM; ME ^ BC như vậy BA, EM, CD là ba đường cao của tam giác  CMB nên BA, EM, CD đồng quy.

4. Theo trên Ta có => ÐD₁= ÐD₂ => DM là tia phân giác của góc ADE.(1)

5. Ta có ÐMEC = 90⁰ (nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) => ÐMEB = 90⁰.

Tứ giác AMEB có ÐMAB = 90⁰ ; ÐMEB = 90⁰ => ÐMAB + ÐMEB = 180⁰ mà đây là hai góc đối nên tứ giác AMEB nội tiếp một đường tròn  => ÐA₂ = ÐB₂ .

Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp => ÐA₁= ÐB₂( nội tiếp cùng chắn cung CD)

=> ÐA₁= ÐA₂ => AM là tia phân giác của góc DAE (2)

Từ (1) và (2) Ta có M là tâm đường tròn  nội tiếp tam giác  ADE

TH2 (Hình b)

Câu 2 : ÐABC = ÐCME (cùng phụ ÐACB); ÐABC = ÐCDS (cùng bù ÐADC) => ÐCME = ÐCDS

=> => ÐSCM = ÐECM => CA là tia phân giác của góc SCB.

Lưu ý kí hiệu Ð có nghĩa là góc.