Bài 9 Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến  Bx và lấy hai điểm C và D thuộc nửa đường tròn. Các tia AC và AD cắt Bx lần lượt ở E, F (F ở giữa B và E).

1. Chứng minh AC. AE không đổi.
2. Chứng minh  Ð ABD = Ð DFB.
3. Chứng minh rằng CEFD là tứ giác nội tiếp.

Lời giải:  

1. C thuộc nửa đường tròn  nên ÐACB = 90⁰ ( nội tiếp chắn nửa đường tròn  ) => BC ^ AE.

ÐABE = 90⁰ ( Bx là tiếp tuyến ) => tam giác  ABE vuông tại B có BC là đường cao => AC. AE = AB² (hệ thức giữa cạnh và đường cao ), mà AB là đường kính nên AB = 2R không đổi do đó AC. AE không đổi.

2. D ADB có ÐADB = 90⁰ ( nội tiếp chắn nửa đường tròn  ).

=> ÐABD + ÐBAD = 90⁰ (vì tổng ba góc của một tam giác  bằng 180⁰)(1)

D ABF có ÐABF = 90⁰ ( BF là tiếp tuyến ).

=> ÐAFB + ÐBAF = 90⁰ (vì tổng ba góc của một tam giác  bằng 180⁰) (2)

Từ  (1) và (2) => ÐABD = ÐDFB ( cùng phụ với ÐBAD)

3. Tứ giác ACDB nội tiếp (O) => ÐABD + ÐACD = 180⁰ .

ÐECD + ÐACD = 180⁰ ( Vì là hai góc kề bù) => ÐECD = ÐABD ( cùng bù với ÐACD).

Theo trên ÐABD = ÐDFB => ÐECD = ÐDFB. Mà ÐEFD + ÐDFB = 180⁰ ( Vì là hai góc kề bù) nên suy ra  ÐECD + ÐEFD = 180⁰, mặt khác ÐECD và ÐEFD là hai góc đối của tứ giác CDFE do đó tứ giác CEFD là tứ giác nội tiếp.

Lưu ý: kí hiệu Ð là góc.