Bài 10  Cho  đường tròn tâm O đường kính AB  và  điểm M bất kì trên nửa đường tròn sao cho AM < MB. Gọi M' là điểm đối xứng của M qua AB và S là giao điểm của hai tia BM, M'A. Gọi P là chân đường

vuông góc từ S đến AB.

1.Gọi S' là giao điểm của MA và SP. Chứng minh rằng ∆ PS'M cân. 2.Chứng minh PM là tiếp tuyến của đường tròn  .

Lời giải:

1. Ta có SP ^ AB (gt) => ÐSPA = 90⁰ ; ÐAMB = 90⁰ ( nội tiếp chắn nửa đường tròn  ) => ÐAMS = 90⁰ . Như vậy P và M cùng nhìn AS dưới một góc bằng  90⁰ nên cùng nằm trên đường tròn  đường kính AS.

Vậy bốn điểm A, M, S, P cùng nằm trên một đường tròn.

2. Vì M'đối xứng M qua AB mà M nằm trên đường tròn  nên M' còng nằm trên đường tròn  => hai cung AM và AM' có số đo bằng nhau

=> ÐAMM' = ÐAM'M ( Hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) (1)

Còng vì M'đối xứng M qua AB nên MM' ^ AB tại H => MM'// SS' ( cùng vuông góc với AB)

=> ÐAMM' = ÐAS'S; ÐAM'M = ÐASS' (vì so le trong) (2).

=> Từ (1) và (2) => ÐAS'S = ÐASS'.

Theo trên bốn điểm A, M, S, P cùng nằm trên một đ/ tròn => ÐASP=ÐAMP (nội tiếp cùng chắn  AP  )

=> ÐAS'P = ÐAMP => tam giác  PMS' cân tại P.

3.  Tam giác  SPB vuông tại P; tam giác  SMS' vuông tại M => ÐB₁ = ÐS'₁ (cùng phụ với ÐS). (3)

Tam giác  PMS' cân tại P => ÐS'₁ = ÐM₁ (4)

Tam giác  OBM cân tại O ( vì có OM = OB =R) => ÐB₁ = ÐM₃ (5).

Từ (3), (4) và (5) => ÐM₁ = ÐM₃ => ÐM₁ + ÐM₂ = ÐM₃ + ÐM₂ mà ÐM₃ + ÐM₂ = ÐAMB = 90⁰ nên suy ra ÐM₁ + ÐM₂ = ÐPMO = 90⁰ => PM ^ OM tại M => PM là tiếp tuyến của đường tròn  tại M

Lưu ý : kí hiệu Ð là góc.