Bài 7  Cho đường tròn  (O; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến đó một điểm P sao

cho AP > R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) tại M.

1.  Chứng minh rằng tứ giác APMO nội tiếp được một đường tròn.

2. Chứng minh BM // OP.

3. Đường thẳng vuông góc với AB ở O cắt tia BM tại N. Chứng minh tứ giác OBNP là hình bình hành.

4. Biết AN cắt OP tại K, PM cắt ON tại I; PN và OM kéo dài cắt nhau tại J. Chứng minh I, J, K thẳng hàng.

Lời giải:  

1.   (HS tự làm).

2.Ta có góc ABM nội tiếp chắn  cung AM;  góc AOM là góc ở tâm

chắn cung AM  => góc ABM = ("gócAOM/2") (1) OP là tia phân giác góc AOM ( t/c hai tiếp tuyến cắt nhau ) =>  góc AOP =   (2) 

Từ  (1) và (2) =>  góc ABM = góc AOP (3) 

Mà góc ABM và góc AOP  là hai góc đồng vị nên suy ra  BM // OP. (4)

3.Xét hai tam giác AOP và OBN ta có : gócPAO=90⁰ (vì PA là tiếp tuyến ); gócNOB = 90⁰ (gt NO^AB).

=> gócPAO = gócNOB = 90⁰; OA = OB = R; gócAOP = gócOBN  (theo (3)) => DAOP = DOBN => OP = BN (5)

Từ  (4) và (5) => OBNP là hình bình hành ( vì có hai cạnh đối song song và bằng nhau).

4. Tứ giác OBNP là hình bình hành => PN // OB hay PJ // AB, mà ON ^ AB => ON ^ PJ

Ta  còng có PM ^ OJ ( PM là tiếp tuyến ), mà ON và PM cắt nhau tại I nên I là trực tâm tam giác  POJ. (6)

Dễ thấy tứ giác AONP là hình chữ nhật vì có gócPAO = gócAON = gócONP = 90⁰ => K là trung điểm của PO  ( t/c đường chéo hình chữ nhật). (6)

   AONP là hình chữ nhật => gócAPO = góc NOP ( so le) (7)

   Theo t/c hai tiếp tuyến cắt nhau Ta có PO là tia phân giác gócAPM => gócAPO = gócMPO (8).

Từ  (7) và (8) => DIPO cân tại I có IK là trung tuyến đông thời là đường cao => IK ^ PO. (9)

Từ  (6) và (9) => I, J, K thẳng hàng.