Bài 2. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đường cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đường tròn

ngoại tiếp tam giác AHE.

1. Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp .
2. Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn.
3. Chứng minh ED = BC.
4. Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn  (O).
5. Tính độ dài DE biết DH = 2 Cm, AH = 6 Cm.

Lời giải: 

1.      Xét tứ giác CEHD ta có:

= 90⁰ ( Vì BE là đường cao)

       = 90⁰ ( Vì AD là đường cao)

     =>   +   = 180⁰

    Mà    và   là hai góc đối của tứ giác CEHD , Do đó  CEHD là tứ giác nội tiếp

2. Theo giả thiết:       BE là đường cao => BE ^ AC => = 90⁰.

AD là đường cao => AD ^ BC => = 90⁰.

Như vậy E và D cùng nhìn AB dưới một góc 90⁰ => E và D cùng nằm trên đường tròn  đường kính AB.

Vậy bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn.

3. Theo giả thiết tam giác  ABC cân tại A có AD là đường cao nên còng là đường trung tuyến

=> D là trung điểm của BC.   Theo trên  ta có = 90⁰ .

Vậy tam giác  BEC vuông tại E có ED là trung tuyến => DE = BC.

1. Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE nên O là trung điểm của AH => OA = OE => tam giác  AOE cân tại O => ₁ = ₁ (1).

Theo trên DE = BC => tam giác  DBE cân tại D => ₃ = ₁ (2)

Mà ₁ = ₁ ( vì cùng phụ với góc ACB) => ₁ = ₃ => ₁ + ₂ = ₂ + ₃

Mà ₁ + ₂ = = 90⁰ => ₂ + ₃ = 90⁰ = => DE ^ OE tại E.

Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn  (O) tại E.

5. Theo giả thiết AH = 6 Cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm. Áp dụng định lí Pitago cho tam giác  OED  vuông tại E ta có ED² = OD² – OE² ó ED² = 5² – 3²  ó ED = 4cm