Bài 11.  Cho tam giác  ABC (AB = AC). Cạnh AB, BC, CA tiếp xúc với  đường tròn  (O)  tại các điểm D, E, F . BF cắt (O) tại I , DI cắt BC tại M. Chứng minh :

1.                           Tam giác  DEF có ba góc nhọn.

2.                           DF // BC.           3.  Tứ giác BDFC nội tiếp.            4.     

Lời giải:  

       1. (HD) Theo t/c hai tiếp tuyến cắt nhau ta có AD = AF => tam giác  ADF cân tại A => ÐADF = ÐAFD < 90⁰ => sđ cung DF < 180⁰ => ÐDEF < 90⁰ ( vì góc DEF nội tiếp chắn cung DE).

 Chứng minh tương tự ta có ÐDFE < 90⁰; ÐEDF < 90⁰. Như vậy tam giác  DEF có ba góc nhọn.

        2. Ta có AB = AC (gt); AD = AF (theo trên) =>  => DF // BC.

       3. DF // BC => BDFC là hình thang lại có Ð B = ÐC (vì tam giác ABC cân)

=> BDFC là hình thang cân do đó BDFC nội tiếp được một đường tròn  .

       4. Xét hai tam giác  BDM và CBF Ta có Ð DBM = ÐBCF ( hai góc đáy của tam giác  cân).

ÐBDM = ÐBFD (nội tiếp cùng chắn cung DI); Ð CBF = ÐBFD (vì so le) => ÐBDM = ÐCBF .

=> DBDM ~DCBF =>

Lưu ý: kí hiệu Ð có nghĩa là góc.