Đạo Hàm Cấp n của ham y=x^3e^x



Bài toán: tìm đạo hàm cấp n của hàm số: y=x3ex

Giải:

y=x3ex

y'=3x2ex+x3ex.

y''=6xex+3x2ex+3x2ex+ x3ex.

=6xex+6x2ex+ x3ex.

Y'''=6ex+6xex +12xex+6x2ex+3x2ex+ x3ex.

=6ex+18xex+9x2ex+ x3ex.

Y(4)= 6ex+18ex+18xex+18xex+9x2ex+ 3x2ex+ x3ex.

=24ex+36xex+12x2ex+x3ex

Y(5)= 24ex+36ex+36xex+24xex+12x2ex+3x2ex+ x3ex

=60ex+60xex+15x2ex+x3ex.

Ta dự đoán:

y(n)=n(n-1)(n-2)ex+3n(n-1)xex+3nx2ex+x3ex.

bây giờ ta chứng minh nó đúng:

với n=1,2,3,4,5 thì biểu thức trên đúng.

Ta giả sử nó đúng với số tự nhiên k nghĩa là:

y(k)=k(k-1)(k-2)ex+3k(k-1)xex+3kx2ex+x3ex.

=>y(k+1)= k(k-1)(k-2)ex+3k(k-1)ex+3k(k-1)xex+6kxex+3kx2ex+3x2ex+ x3ex.

=(k+1)k(k-1)ex+3(k+1)kxex+3(k+1)x2ex+ x3ex.

=(k+1)[ (k+1)-1][ (k+1)-2] ex +3(k+1) [(k+1)-1] xex +3(k+1)+ x3ex.

Vậy biểu thức trên đúng với k+1

Do đó theo quy nạp biểu thức đúng với nN.

Kết luận: y(n)=n(n-1)(n-2)ex+3n(n-1)xex+3nx2ex+x3ex.

 

 




2 comments:

 

© 2012 Học Để ThiBlog tài liệu