Bài toán: tìm đạo hàm cấp n của hàm số: y=x³e^x

Giải:

y=x³e^x

y'=3x²e^x+x³e^x.

y''=6xe^x+3x²e^x+3x²e^x+ x³e^x.

=6xe^x+6x²e^x+ x³e^x.

Y'''=6e^x+6xe^x +12xe^x+6x²e^x+3x²e^x+ x³e^x.

=6e^x+18xe^x+9x²e^x+ x³e^x.

Y⁽⁴⁾= 6e^x+18e^x+18xe^x+18xe^x+9x²e^x+ 3x²e^x+ x³e^x.

=24e^x+36xe^x+12x²e^x+x³e^x

Y⁽⁵⁾= 24e^x+36e^x+36xe^x+24xe^x+12x²e^x+3x²e^x+ x³e^x

=60e^x+60xe^x+15x²e^x+x³e^x.

Ta dự đoán:

y⁽ⁿ⁾=n(n-1)(n-2)e^x+3n(n-1)xe^x+3nx²e^x+x³e^x.

bây giờ ta chứng minh nó đúng:

với n=1,2,3,4,5 thì biểu thức trên đúng.

Ta giả sử nó đúng với số tự nhiên k nghĩa là:

y^(k)=k(k-1)(k-2)e^x+3k(k-1)xe^x+3kx²e^x+x³e^x.

=>y^(k+1)= k(k-1)(k-2)e^x+3k(k-1)e^x+3k(k-1)xe^x+6kxe^x+3kx²e^x+3x²e^x+ x³e^x.

=(k+1)k(k-1)e^x+3(k+1)kxe^x+3(k+1)x²e^x+ x³e^x.

=(k+1)[ (k+1)-1][ (k+1)-2] e^x +3(k+1) [(k+1)-1] xe^x +3(k+1)+ x³e^x.

Vậy biểu thức trên đúng với k+1

Do đó theo quy nạp biểu thức đúng với nN.

Kết luận: y⁽ⁿ⁾=n(n-1)(n-2)e^x+3n(n-1)xe^x+3nx²e^x+x³e^x.