Đề thi môn Giải tích hàm

Lớp: Chuyên tu Bình Phước

Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1:

Cho các không gian mêtric . Trên tập XxY ta định nghĩa

1) Chứng minh d là mêtric trên XxY.

2) Cho các ánh xạ liên tục .

a.  Chứng minh rằng ánh xạ  liên tục.

b.  Chứng minh tập  là tập đóng

c.       Giả sử Z=Y; sử dụng b) để chứng minh tập  là tập đóng.

Bài 2:

            Cho hàm  liên tục.

1)     Cho không gian đo được  và hàm  đo được. Chứng minh hàm  đo được.

2)     Trên  ta xét mêtric . Sử dụng định lí hội tụ bị chặn để chứng minh phiếm hàm ,  liên tục.

Bài 3:

            Cho không gian Hilbert (X, <., .>) với hệ trực chuẩn đầy đủ và  là dãy số bị chặn. Ta định nghĩa

, , ,

1)     Chứng minh  là ánh xạ tuyến tính liên tục và

2)     Giả sử  và

a.      Chứng minh  trong L(X,X)

b.      Cho , chứng minh

c.      Cho , . Chứng minh

__HẾT__

Đề thi môn Giải tích hàm

Lớp: Chuyên tu Cần Thơ

Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1:

Cho các không gian mêtric . Trên tập XxY ta định nghĩa

1)     Chứng minh d là mêtric trên XxY.

2)     Cho các ánh xạ liên tục .

a.      Chứng minh rằng ánh xạ  liên tục.

b.   Chứng minh tập  là tập đóng

c.         Giả sử Z=Y; sử dụng b) để chứng minh tập  là tập đóng.

Bài 2:

            Cho các không gian mêtric X, Y và ánh xạ . Chứng minh các mệnh đề sau tương đương.

1)     f liên tục trên X

2)    

3)    

Bài 3:

            Cho không gian Hilbert (X, <., .>) với hệ trực chuẩn đầy đủ và  là dãy số bị chặn. Ta định nghĩa

, , ,

1)     Chứng minh  là ánh xạ tuyến tính liên tục và

2)     Giả sử  và

a.      Chứng minh  trong L(X,X)

b.      Cho , chứng minh

c.      Cho , . Chứng minh

__HẾT__