4) y" - 3y' + 2y = 3x + 5sin2x

Ta có phương trình thuần nhất: y" - 3y' + 2y = 0

ð Phương trình đặc trưng:

ð k²-3k+2=0

phương trình có 2 nghiệm phân biệt k₁=1 và k₂=2, nó có nghiệm tổng quát:

y=C₁+C₂

=C₁e^x+C₂e^2x

Bây giờ chỉ cần tìm nghiệm riêng nữa là hết:

(*)xét phương trình con:

y" - 3y' + 2y = 5sin2x

vế phải f(x)= 5sin2x có dạng:

e^ax[P_n(x)cosbx+Q_m(x)sinbx], với a=0, b=2, max{n,m}=0.

a+ib không là nghiệm của phương trình thuần nhất, nên nó có nghiệm riêng dạng:

y=e^ax[a_ocosbx+b_osinbx]

= a_ocos2x +b_osin2x (b=2, a=0)

=>y'=-2a_osin2x+2b_ocos2x

=>y''=-4a_ocos2x-4b_osin2x

Thay vào phương trình: y" - 3y' + 2y = 5sin2x

=>-4a_ocos2x-4b_osin2x-3[-2a_osin2x+2b_ocos2x]+2[ a_ocos2x +b_osin2x] = 5sin2x

<=>(-2a_o-6b_o)cos2x+(6a_o-2b_o)sin2x=5sin2x

Để cho nó đồng nhất(giống nhau)thì:

=>a_o=3/4; b_o=-1/4

Vậy ta có nghiệm riêng:

y= cos2x +sin2x

(**)xét phương trình con: y" - 3y' + 2y=3x

Vế phải f(x)=3x có dạng e^axP_n(x), với a=0 và n=1

a=0 không phải nghiệm của phương trình thuần nhất nên nó có nghiệm riêng dạng:

y=e^ax(a₁x+a_o)=a₁x+a_o, do a=0

=>y'=a₁

=>y''=0

Thay vào phương trình: y" - 3y' + 2y=3x

<=>0-3a₁+2(a₁x+a_o)=3x

<=>2a₁x-3a₁+2a_o=3x

Để nó đồng nhất thì:

2a₁=3=>a₁=3/2

=>2a_o=3a₁<=>2a₀=3.3/2=>a₀=9/4

Vậy ta có nghiệm riêng: y= a₁x+a_o=x+

Từ (*), (**) ta có nghiệm riêng của phương trình là:

y=cos2x +sin2x+x+

kết luận nghiệm tổng quát của phương trình là:

y=C₁e^x+C₂e^2x+cos2x +sin2x+x+