Bài 4 của Trang Ánh Nô



4) y" - 3y' + 2y = 3x + 5sin2x

Ta có phương trình thuần nhất: y" - 3y' + 2y = 0

ð Phương trình đặc trưng:

ð k2-3k+2=0

phương trình có 2 nghiệm phân biệt k1=1 và k2=2, nó có nghiệm tổng quát:

y=C1+C2

=C1ex+C2e2x

Bây giờ chỉ cần tìm nghiệm riêng nữa là hết:

(*)xét phương trình con:

y" - 3y' + 2y = 5sin2x

vế phải f(x)= 5sin2x có dạng:

eax[Pn(x)cosbx+Qm(x)sinbx], với a=0, b=2, max{n,m}=0.

a+ib không là nghiệm của phương trình thuần nhất, nên nó có nghiệm riêng dạng:

y=eax[aocosbx+bosinbx]

= aocos2x +bosin2x (b=2, a=0)

=>y'=-2aosin2x+2bocos2x

=>y''=-4aocos2x-4bosin2x

Thay vào phương trình: y" - 3y' + 2y = 5sin2x

=>-4aocos2x-4bosin2x-3[-2aosin2x+2bocos2x]+2[ aocos2x +bosin2x] = 5sin2x

<=>(-2ao-6bo)cos2x+(6ao-2bo)sin2x=5sin2x

Để cho nó đồng nhất(giống nhau)thì:

=>ao=3/4; bo=-1/4

Vậy ta có nghiệm riêng:

y= cos2x +sin2x

(**)xét phương trình con: y" - 3y' + 2y=3x

Vế phải f(x)=3x có dạng eaxPn(x), với a=0 và n=1

a=0 không phải nghiệm của phương trình thuần nhất nên nó có nghiệm riêng dạng:

y=eax(a1x+ao)=a1x+ao, do a=0

=>y'=a1

=>y''=0

Thay vào phương trình: y" - 3y' + 2y=3x

<=>0-3a1+2(a1x+ao)=3x

<=>2a1x-3a1+2ao=3x

Để nó đồng nhất thì:

2a1=3=>a1=3/2

=>2ao=3a1<=>2a0=3.3/2=>a0=9/4

Vậy ta có nghiệm riêng: y= a1x+ao=x+

Từ (*), (**) ta có nghiệm riêng của phương trình là:

y=cos2x +sin2x+x+

kết luận nghiệm tổng quát của phương trình là:

y=C1ex+C2e2x+cos2x +sin2x+x+

 




No comments:

 

© 2012 Học Để ThiBlog tài liệu