1) y" + 3y' - 4y =e^ -4x + xe^ -x

2) y" - 3y' + 2y = xcosx

3) y" - 4y' + 8y = e^ 2x + sin 2x

4) y" - 3y' + 2y = 3x + 5sin2x

Giải:

1)   y" + 3y' - 4y =e^-4x + xe^-x

phương trình thuần nhất tương ứng là:

y" + 3y' - 4y =0

ð phương trình đặc trưng:

ð k²+3k-4=0    (I)

ð phương trình có 2 nghiệm phân biệt là k₁=1 và k₂=-4. Do đó nghiệm tổng quát của phương trình là:

ð y=C₁e^x+C₂e^-4x trong đó C là hằng số.  (@)

ð bây giờ ta tìm nghiệm riêng nữa là xong:

(nghiệm tổng quát cần tìm=nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất+nghiệm riêng)

Vế phải là e^-4x + xe^-x ta không đưa được về dạng tổng quát nên mình xét 2 phương trình con:

(*) y" + 3y' - 4y =e^-4x.

Vế phải có dạng e^axP_n(x), a=-4 là nghiệm của (I)

Nên có nghiệm riêng dạng: y=xe^-4xa₀

=>y'=a_oe^-4x-4a_oxe^-4x=(1-4x) a_oe^-4x

=>y''=-4 a_oe^-4x-4(1-4x) a_oe^-4x=-4(2-4x) a_oe^-4x

Thay lên ta được:

-4(2-4x) a_oe^-4x+3(1-4x) a_oe^-4x-4xe^-4xa₀= e^-4x.

<=>-5a_oe^-4x= e^-4x

=>a_o=-

=>y=-xe^-4x   (1)

(**)y" + 3y' - 4y =xe^-x

Vế phải có dạng e^axP_n(x):a=-1 không phải là nghiệm của phương trình (I) nên nó có nghiệm riêng dạng:

y=e^-x(a₁x+a_o)

=>y'=a₁e^-x- e^-x(a₁x+a_o)=e^-x(-a₁x-a_o+a₁)

=>y''=- e^-x(-a₁x-a_o+a₁)-a₁e^-x= e^-x(a₁x+a_o-2a₁)

Thay lên ta được:

e^-x(a₁x+a_o-2a₁)+3e^-x(-a₁x-a_o+a₁)-4e^-x(a₁x+a_o)=xe^-x

<=>(-6a₁) xe^-x+(a₁-6a_o) e^-x =xe^-x

Để cho nó đồng nhất:(có nghĩa là giống nhau) thì:

Từ (1),(2) suy ra có có nghiệm riêng:

 (@@)

Từ (@),(@@) suy ra nghiệm tổng quát là:

y=C₁e^x+C₂e^-4x

2)    y" - 3y' + 2y = xcosx

ta có phương trình thuần nhất tương ứng:

y" - 3y' + 2y =0

=>phương trình đặc trưng:

k²-3k+2=0

phương trình có 2 nghiệm phân biệt k=1 và k=2. Do đó nghiệm tổng quát của phương trình là:

y=C₁e^x+C₂e^2x

bây giờ ta tìm nghiệm riêng của phương trình:

y" - 3y' + 2y = xcosx

vế là xcosx có dạng f(x)=e^ax[P_n(x)cosbx+Q_m(x)sinbx]

trong đó a=0, b=1, max{n,m}=1

a+ib=0+i=i không là nghiệm của phương trình:

nên nó có nghiệm riêng dạng:

y=e^ax[(a₁x+a₀)cosbx+(b₁x+b_o)sinbx]

=(a₁x+a₀)cosx+(b₁x+b_o)sinx (do a=0,b=1)

=>y'=a₁cosx-(a₁x+a₀)sinx+b₁sinx+(b₁x+b_o)cosx

=( b₁x+b_o+ a₁)cosx+(-a₁x-a₀+b₁)sinx

=>y''=-( a₁+ b₁x+b_o)sinx+b₁cosx-a₁sinx+(b₁-a₁x-a₀)cosx

          =-( b₁x+b_o+2a₁)sinx+(-a₁x-a₀+2b₁)cosx

Thay vào: y" - 3y' + 2y = xcosx

<=>-( b₁x+b_o+2a₁)sinx+(-a₁x-a₀+2b₁)cosx

-3[( b₁x+b_o+ a₁)cosx+(-a₁x-a₀+b₁)sinx]

+2[(a₁x+a₀)cosx+(b₁x+b_o)sinx]= xcosx

<=>[( a₁-3b₁)x+a₀+2b₁-3b_o-3a₁]cosx+[(b₁+3a₁)x-2a₁+3a_o-3b₁+b_o]sinx=xcosx

Để cho nó đồng nhất (tức là 2 vế giống nhau) thì:

Giải (1) và (3) bấm máy=>a₁=, b₁=

Thay vào (2) và (3) ta được:

=>a_o=, b_o=

Vậy ta có nghiệm riêng:

y=(a₁x+a₀)cosx+(b₁x+b_o)sinx

=cosx+sinx

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là:

y=C₁e^x+C₂e^2x+cosx+sinx (C là hằng số)

3) y" - 4y' + 8y = e ^2x + sin 2x

Ta có phương trình thuần nhất:

y" - 4y' + 8y = 0

=>phương trình đặc trưng

k²-4k+8=0

phương trình vô nghiệm thực, có 2 nghiệm phức: k₁=2+2i và k₂=2-2i:

=>p=q=2

=> phương trình có nghiệm tổng quát dạng:

y=e^px(C₁cosqx+C₂sinqx)

=e^2x(C₁cos2x+C₂sìn2x)

Bây giờ ta chỉ cần đi tìm nghiệm riêng của phương trình:

Lúc này do không đưa được về dạng tổng quát nên ta xét 2 phương trình con:

(*)y" - 4y' + 8y = e ^2x

Vế phải f(x)=e^2x có dạng e^axP_n(x) với a=2 và n=0

a=2 không phải là nghiệm của phương trình đặt trưng nên nó có nghiệm riêng dạng:

y=e^axa_o=a_oe^2x.

=>y'=2a_oe^2x.

=>y''=4a_oe^2x

Thay vào:  y" - 4y' + 8y = e ^2x.

<=>4a_oe^2x-4.2a_oe^2x+8a_oe^2x= e^2x

<=>4a_oe^2x= e^2x

Để nó đồng nhất(giống nhau) thì: 4a_o=1=>a_o=

Vậy ta có: y= e^2x.

(**)y" - 4y' + 8y = sin 2x

Vế phải f(x)=sìn2x có dạng y=e^ax[P_n(x)cosx+Q_m(x)sinx] với a=0, b=2, max{n,m}=0

=>y=a₀cos2x+b₀sin2x

=>y'=-2a_osin2x+2b_ocos2x

=>y''=-4a_ocos2x-4b_osin2x

Thay vào: y" - 4y' + 8y=sin2x

<=>-4a_ocosx-4b_osinx-4(-2a_osinx+2b_ocosx)+8 (a₀cosx+b₀sinx)=sin2x

<=>(4a₀-8b_o)cos2x+(8a_o+4 b₀)sin2x=sin2x

Để cho nó đồng nhất (giống nhau) thì:

=>a_o=, b_o=

Vậy ta có nghiệm riêng: y= cos2x+sin2x

Từ (*),(**) ta có nghiệm riêng của phương trình:

y= e^2x+cos2x+sin2x

kết luận nghiệm tổng quát của phương trình là:

y=e^2x(C₁cos2x+C₂sìn2x)+ e^2x+cos2x+sin2x